FGM空心圓筒的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力場(chǎng)解析解

房正華（合肥工業(yè)大學(xué),合肥230009）

FGM空心圓筒的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力場(chǎng)解析解

房正華
（合肥工業(yè)大學(xué),合肥230009）

本文主要利用微分方程的級(jí)數(shù)解法來(lái)求解FGM空心圓筒的一維應(yīng)力場(chǎng)問(wèn)題。假定圓筒的材料屬性沿徑向呈冪指乘積函數(shù)分布，并受到軸對(duì)稱的溫度荷載。最后以鉬/多鋁紅柱石合成的功能梯度圓筒為例得到有限元軟件模擬的數(shù)值解。

功能梯度材料；空心圓筒；應(yīng)力場(chǎng)；級(jí)數(shù)解

0　引言

材料性能和組分的突變往往會(huì)導(dǎo)致明顯的局部應(yīng)力集中，如果復(fù)合材料中不同材料間的變化是逐步連續(xù)進(jìn)行的，則應(yīng)力集中會(huì)大大減小。為了提高材料性能，減小材料的應(yīng)力集中，功能梯度材料的出現(xiàn)很好地解決了這一問(wèn)題。功能梯度材料是指材料在其厚度或長(zhǎng)度方向上組分和結(jié)構(gòu)呈連續(xù)梯度變化的一種新型復(fù)合材料。梯度功能材料的主要特征可以簡(jiǎn)要概括一下有以下三點(diǎn)：

（1）材料的組成成份和結(jié)構(gòu)呈連續(xù)性梯度變化；

（2）材料內(nèi)部沒(méi)有明顯的界面；

（3）材料的性質(zhì)相應(yīng)地也呈連續(xù)性梯度變化。與傳統(tǒng)材料易在基層和纖維之間界面容易破壞不同，功能梯度材料可以承受更大的荷載。其實(shí)自然界中早已存在功能梯度材料，如竹子、人的骨骼、牙齒等都是典型的梯度材料，它們結(jié)構(gòu)中的最強(qiáng)單元能承擔(dān)最大的應(yīng)力。

功能梯度材料（FGM）最早的概念是由日本材料學(xué)家新野正之等[1]人提出，他們將陶瓷和金屬材料復(fù)合達(dá)到從這種材料屬性連續(xù)變化到另外一種材料。材料屬性沿圓筒徑向分布函數(shù)的形式有很多，如線性、冪函數(shù)、二次函數(shù)等等。Lutz等[2,3]對(duì)功能梯度球體和圓筒給出了一維熱應(yīng)力分析，他們考慮厚壁空心圓筒受穩(wěn)態(tài)徑向熱負(fù)荷，并假設(shè)材料的熱彈性參數(shù)與圓筒或球體成線性關(guān)系。Jabbari等[4,5]在假設(shè)材料參數(shù)沿厚度隨半徑以冪函數(shù)形式變化時(shí)分析了受徑向?qū)ΨQ荷載下圓筒中的熱應(yīng)力分布，并提出一種直接解析法來(lái)求解熱傳導(dǎo)和納維方程。Xiang等得到了彈性模量沿徑向線性變化且內(nèi)外表面受均勻壓力的厚壁空心圓筒的位移和應(yīng)力分布。Tutuncu通過(guò)冪級(jí)數(shù)解的方法求得了材料參數(shù)呈指數(shù)變化的厚壁空心圓筒的徑向位移和穩(wěn)態(tài)應(yīng)力。Hosseini等給出了材料性能沿厚度呈冪律關(guān)系的FGM空心圓筒的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)解析法，并用Bessel函數(shù)法得到了溫度分布。R.poultangari等假設(shè)材料性能沿厚度方向呈冪函數(shù)變化，通過(guò)能量方程得到內(nèi)部溫度場(chǎng)分布，運(yùn)用歐拉方程和勒讓德多項(xiàng)式求解Navier方程，給出了不同冪指數(shù)下的溫度、位移和應(yīng)力分布。

1　問(wèn)題描述

一有限長(zhǎng)FGM空心圓筒，內(nèi)外壁半徑為r1，r2，該圓筒的材料屬性各向同性且沿厚度方向呈線性分布，材料屬性參數(shù)如彈性模量、熱傳導(dǎo)系數(shù)、熱膨脹系數(shù)、熱擴(kuò)散率分別為E、λ、α、k。其內(nèi)壁同時(shí)受溫度荷載T1和機(jī)械荷載q1，外壁受到溫度荷載T2和機(jī)械荷載q2作用，圓筒內(nèi)部無(wú)熱源。假定空心圓柱的熱彈性參數(shù)如熱傳導(dǎo)率λ等均沿徑向呈冪指函數(shù)(如 )分布，空心圓柱內(nèi)外壁和周圍介質(zhì)間的熱對(duì)流傳遞系數(shù)分別為h1和h2，在這里利用熱傳導(dǎo)方程可以得到溫度場(chǎng)，納維方程得到位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。

1.1溫度場(chǎng)的求解

首先來(lái)求圓筒的溫度場(chǎng)，并將材料屬性參數(shù)代入熱傳導(dǎo)方程中為：

上式中為計(jì)算方便，全部采用參數(shù)無(wú)量綱化的方法，如R=r1/r2等等。

二階變系數(shù)微分方程常常不能用通常的解法求出，但可以用級(jí)數(shù)或數(shù)值解法。數(shù)值解法手工很難完成，要借助計(jì)算機(jī)軟件如matelab等，差分法是常見(jiàn)的用來(lái)解變系數(shù)微分方程的方法。二次變系數(shù)微分方程的級(jí)數(shù)解法分為在奇點(diǎn)處和在常點(diǎn)處的級(jí)數(shù)展開(kāi)兩種方法，式（1）在R=1處展開(kāi)就用常數(shù)點(diǎn)處展開(kāi)的級(jí)數(shù)方法，在R=0處就用級(jí)數(shù)點(diǎn)處的級(jí)數(shù)展開(kāi)。本文選取在R=0處級(jí)數(shù)展開(kāi)，則方程的解用級(jí)數(shù)可以表示為：

利用微分方程的正則奇點(diǎn)處的級(jí)數(shù)解法得

其中Ak1，Ak2便可以通過(guò)遞推公式求出。β1，β2可以代入溫度邊界條件得到。

1.2位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的求解

在得到圓筒的溫度場(chǎng)后需要直接通過(guò)位移-溫度關(guān)系式求解到位移分布，所以先通過(guò)本構(gòu)方程和幾何方程推導(dǎo)出能通過(guò)求解二階微分方程的關(guān)系式（即Navier方程），該方程是二階變系數(shù)非齊次微分方程，求解起來(lái)有一定的難度，這里要先求解該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程解（同溫度場(chǎng)的求解方法一樣，都可以用級(jí)數(shù)解法）。然后觀察方程左右兩邊形式構(gòu)造出非齊次方程的特解，并代入求其待定系數(shù)。在得到位移場(chǎng)的分布后，只需將其代入幾何方程和本構(gòu)方程即可得到相應(yīng)徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的解析解。

2　數(shù)值模擬

在這里考慮的是一個(gè)用鉬/多鋁紅柱石制成的FGM空心圓筒，其無(wú)量綱內(nèi)外徑分別為：R=0.9和R=1.1。材料屬性沿徑向按冪指函數(shù)變化且參數(shù)取值為：p1=2.3,p2=p3=1.5，q1=-0.3，q2=-0.2。由于圓筒的材料性能參數(shù)隨厚度方向連續(xù)變化，在有限元模擬中要作簡(jiǎn)化處理，采用層合模型，將空心圓筒沿徑向均勻分成100份，每個(gè)小圓環(huán)內(nèi)部的材料屬性保持不變。圓筒外壁的熱傳遞系數(shù)為H=30，內(nèi)外壁開(kāi)始的溫度分別為：和。

圖1表示的是FGM空心圓的穩(wěn)態(tài)徑向溫度場(chǎng)，以此為例可以看出文中所用方法與數(shù)值結(jié)果的誤差在3%以內(nèi)，驗(yàn)證了方法的正確性。

3　總結(jié)

本文主要對(duì)軸對(duì)稱FGM空心圓筒的一維應(yīng)力場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，其中通過(guò)級(jí)數(shù)解法來(lái)求解熱傳導(dǎo)方程得到應(yīng)力場(chǎng)的解，而且該方法還可以推廣到材料屬性沿徑向一般分布的情況。

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房正華（1989—），男，安徽安慶人，碩士研究生，研究方向：FGM空心圓筒熱應(yīng)力問(wèn)題。