非對稱矩陣值函數的連續性和微分性

陳 濤，田 力

(泰山學院數學與統計學院，山東泰安 271021)

非對稱矩陣值函數的連續性和微分性

陳 濤，田 力

(泰山學院數學與統計學院，山東泰安 271021)

非對稱矩陣值函數的性質在研究其最優化問題時起著非常重要的作用.本文在非對稱矩陣值函數定義的基礎上，基于對稱矩陣值函數與非對稱矩陣值函數之間的關系，給出了非對稱矩陣函數的一種新的連續性和微分性.

奇異值分解;非對稱矩陣值函數;連續性;可微性

1 預備知識

定義1.1［1］設g∶→是一實值函數，非對稱矩陣值函數G∶p×q→p×q為

這里g(Σ)=diag［g(σ1)，…，g(σp)］.

定義1.2［1］設線性算子Ξ∶p×q→Sp+q，其中

引理1.1［2］令g∶→，g(0)=0是實值函數，Y∈p×q具有(1.1)的奇異值分解.則有(1.2)給出的相應的非對稱的矩陣值函數G(Y)有定義.

這里給出的U，V1，V2如同(1.1)，Ξ(Y)具有下面的特征值分解

因為Ξ(Y)是對稱的，和f=g有關的F(Ξ(Y))是有定義的.

則由(1.6)，(1.7)和(1.8)，可以得到

聯系(1.4)可以推出

即上述非對稱的矩陣值函數G(Y)有定義，由于UV1依賴于Y的奇異值分解，由(1.3)可知g(0)= 0是G有定義的充分必要條件.這樣對定義在+上的實值函數g，本文總是假設g(0)=0.

2 主要結論

下面討論由(1.2)定義的非對稱矩陣值函數G的連續性及可微性.

令Sn是實對稱矩陣空間，對任意的X∈Sn，定義X的正交向量集

這里O表示n×n正交矩陣空間，D表示n×n對角元素非增的對稱矩陣空間.

引理2.1 對任意的X∈Sn，存在數η＞0和ε＞0，使得

引理2.2 對任意的X，Y∈Sn，令λ1，λ2，…，λn和μ1，μ2，…，μn分別是X和Y的特佂值，則

證明:對任意P∈LΞ(X)和Q∈LΞ(Y)存在一個置換矩陣W，使得WP∈OΞ(X)，WP∈Ξ(Y)，則有引理2.1，存在數值η＞0和ε＞0，使得

證明:(1)由(1.9)知，G在Y連續當且僅當Ψ在Y連續.首先證明若g在σ1，σ2，…，σp連續，Ψ在Y連續.

→0當△Y→0時.

這表明G在Y連續.

假設G在Y連續，對任意正交矩陣U和V，使得Y=U［Σ 0］VT，這里Σ=diag［σ1，…，σp］，則對任意的i∈{1，…，p}，當μi→σi時，

從而G(Z)→G(Y)，由G的定義，g(μi)→g(σi)，也就是說，g在σi處連續.

(2)是(1)的直接結果.

的(p+q)×(p+q)的對稱矩陣.

定理2.3 Ψ在Y可微的充要條件是g在σ1，σ2，…，σp可微，并且，若Ψ在Y可微，則有

證明:假設g在σ1，σ2，…，σp可微，則g在－σ1，－σ2，…，－σp可微，也就是說g在λ1，λ2，…，λ2p可微.

由定理2.1存在數值η＞0和ε＞0，使得

連同Q的第三條性質，有Ψ在Y可微，并且Ψ'(Y)由(2.4)給出.

令v1，v2，…，vp+q是Ξ(Y+H)的特征值:τ1，τ2，…，τp是Y+H的奇異值，任意取定ˉQ∈OΞ(Y+H)，則

由定理2.1存在Q∈OΞ(Y)，滿足

為簡單起見，令r表示(2.5)的左端，即，

這里

注意到，

聯合(2.13)有

又因為

所以

對任意的i∈{1，…，2p}，由(2.7)、(2.11)及g(vk)=g(0)=0，k≥2p+1，我們有

因為g在λ1，λ2，…，λ2p可微，

由引理2.1右式即o(‖Ξ(H)‖).

對i∈{2p+1，…，p+q}，因為k≠i，我們有

對任意的i，j∈{1，…，p+q}，i≠j，由(2.7)、(2.11)和g(vk)=g(0)=0，k≥2p+1，我們有

顯然r=o(‖H‖).因此，得到

這表明Ψ在Y可微，并且Ψ'(Y)由(2.11)給出.

由2.1若σp=0，則g在0是可微的.F在Ξ(Y)是可微的，則由復合函數求導的鏈式法則Ψ在Y可微，并且

雖然當i，j∈{2p+1，…，p+q}，Ωij=g'(0)可能不為0，(Ξ(H))ij=0，(2.12)和(2.4)是一致的.

［1］張賢達.矩陣分析與應用［M］.北京:清華大學出版社，2004.

［2］張寧.矩陣值函數的微分與應用［D］.大連:大連理工大學，2013.

The Continuity and Differentiability of Non－symmetric Matrix Valued Function

CHEN Tao，TIAN Li
(School of Mathematics and Statistics，Taishan University，Tai＇an，271021，China)

The properties of the non－symmetric matrix valued function play a very important role in the study of the optimization problems.In this paperwe offer the definition of non－symmetricmatrix valued function firstly，and then give some new properties on the continuity and differentiability of non－symmetricmatrix valued function based on the relationship between the symmetric matrix valued functions and non－symmetric matrix valued functions.

singular value decomposition;non－symmetricmatrix valued function;continuity;differentiability

O177.1

A

1672－2590(2015)03－0001－05

2015－04－08

陳 濤(1971－)，男，山東泰安人，泰山學院數學與統計學院副教授.