用變式訓練提高高中數學課堂效率

唐愛文 張有賢

數學是人類活動的基本工具，學好數學也是社會對人才的基本要求。因此，提高數學課堂的效率十分必要，變式訓練是數學教學中普遍采用的教學手段，也是行之有效的教學手段。高中數學課堂也可以利用變式訓練來加強學生數學能力的提高。

一、利用變式訓練加深概念理解

從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去發現和探索，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。

如在講函數的定義域時，一個函數的定義域是自變量的取值范圍。實際上學生對自變量和變量，難以辨析，此時可以做如下變形：

變式1：若函數f（x）的定義域是[-1，1]，求f（2x）的定義域；

變式2：若函數f（2x）的定義域是[-1，1]，求f（x）的定義域；

變式3：若函數f（2x）的定義域是[-1，1]，求f（log2x）的定義域。

通過以上的變式，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以后的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。

二、利用變式訓練增強學生對公式、定理及性質的運用

數學能力的發展和形成，有賴于掌握定理、公式和法則去進行推理論證和演算。在復習定理、公式和法則的教學過程中，利用此類變式問題可明確定理、公式和法則的條件、結論、適用范圍、注意事項等關鍵之處，進而培養學生嚴密的邏輯推理論證能力和正確演算能力。

例如在研究三棱錐（即四面體）頂點的射影與底面三角形“各心”的關系時就可設置以下問題：

（1）當三棱錐是正三棱錐時；

（2）當三條側棱的長均相等時；

（3）當側棱與底面所成的角都相等時；

（4）當頂點與底面三邊距離相等時；

（5）當三條側棱兩兩垂直時；

（6）當三條側棱分別與所對側面垂直時。

通過不斷變換命題的條件，引深拓廣，產生一個個既類似又有區別的問題，使學生在挑戰中尋找樂趣，培養了思維的深刻性，同時也進一步鞏固了對于線線、線面垂直關系，尤其是三垂線定理的掌握。防止學生形式地、機械地背誦、套用公式和定理，提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。

三、利用變式訓練提高學生在解題思維與探索能力

（一） 多題一解，適當變式，培養學生求同存異的思維能力

許多數學習題看似不同，但它們的解題的思路、方法是一樣的，這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。

例如：（1）已知a，b∈R+，且a+b=1，求（■+1）（1+■）的取值范圍。

（2）已知a，b∈R+，且2a+3b=1，求（■+1）（1+■）的取值范圍。

（3）已知a，b∈R+，且2a+3b=4，求（■+1）（1+■）的取值范圍。

這些題目都是對均值定理的應用，教師要把這類題目成組展現給學生，讓學生在比較中感悟它們的共性。

（二） 一題多解，觸類旁通，培養學生思維的靈活性

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。既能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系，又能引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性。

例如，已知向量■=（2，0），■=（2，2），■=（■COSa，■sina），則■與■夾角的范圍是（ ）

A. [■，■] B. [0，■]

C. [■，■] D. [■，■]

這題學生一般想到利用■=■+■，先求出■，然后用兩向量夾角的余弦公式求解，但是還可以運用另外一種簡單方法。那就是利用■=■+■=（2+■cosa，2+■sina，可以判斷出點A的軌跡是以（2，2）為圓心，■為半徑的圓。然后利用數形結合求出夾角的范圍了。這個題從不同的角度進行多向思維，把各個知識點有機地聯系起來，發展了學生的多向思維能力。

（三） 一題多變，總結規律，培養學生探索能力

通過變式訓練，不是解決一個問題，而是解決一類問題，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識。從而使一個題目延伸出一類題目，達到舉一反三、觸類旁通的目的。

例如，已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G，H分別是CB，CD上的點，CH∶CB=CG∶CD=2∶3，求證：四邊形EFGH是梯形。

這道題目的是加強對公理4的理解和應用，對這個題目可從改變條件，探索新的結論和改變圖形的角度進行很多變化。

變式1：條件不變，該求證HE與GF交于一點。

學生在上題中已證得EFGH是梯形，對結論的深化不是難事，關鍵是在不改變條件的情況下，要對結論進行探索。

變式2：已知條件為E、F、G、H分別是AB、AD、CB、CD的中點，（1）則四邊形EFGH的形狀。（平行四邊形）（2）且AC=BD，則四邊形EFGH的形狀。（菱形）（3）且，則四邊形EFGH的形狀。（矩形）（4）且AC=BD，則四邊形EFGH的形狀。（正方形）（5）且AB=BC，AD=DC，則四邊形EFGH的形狀。（矩形）

變式3：已知條件，E、H分別為AB，BC的中點，AF∶FD=3，過H、E、F做一平面交CD于G，（1）CG∶CD（2）求證：EF與GH交于一點。

通過改變條件得到不同結論的變式，可以大大激發學生的興趣，變式2的一組題目跟初中平面幾何的題目有類似性，可以促進學生從平面到空間的遷移，變式3有例題及前兩個變式的基礎，教師為學生的鞏固掌握打好了支架，學生要理解就比較容易了。

變式4：設圖形G、H分別是CB、CD反向延長線上的點，其余條件不變，求證：EFGH是梯形。

變式5；當圖形G、H分別是CB、CD反向延長線上的點時，（1）四邊形圖形EFGH是平行四邊形，求CG∶CB。（2）在（1）的基礎上滿足什么條件時，再補充條件使四邊形EFGH是矩形。

變式4、變式5改變了圖形中G、H的位置，但線段的一些基本關系沒變，學生已有上面變式的經驗，較容易掌握。但變式5中（2）是一個開放性題目，對所補充條件，每個學生考慮的角度不同會得出不同的答案，如EH⊥BD，或AB=AD且BC=DC，對于學生的探索，推理過程只要存在著一定得合理成分，教師都應該予以肯定，并做出適當的點評，讓學生對自己的探索充滿信心。

總而言之，數學變式訓練以一勝多、舉一反三的變式教學，給數學教學注入了生機和活力，提高了學生的興趣，調動了學生的積極性，使其學得輕松，并且避免“題?！保瑥亩岣吡苏n堂教學效率和教學質量，對學生掌握知識、促進思維和培養能力等方面起著非常重要的作用?！白儭迸c“不變”，都要讓學生去體驗。教師的作用應該主要是引導和點撥，使學生去思考和比較，發現變式問題中的“變”與“不變”。

四、利用變式訓練培養學生數學思想方法的應用意識

數學思想方法在高中數學學習中具有重要地位，為了加深學生對數學思想方法的領悟和應用，我們以二次函數為例做如下變式訓練：

例：求函數y=x2-2x-1的最值。

變式1：

（1）求函數y=x2-2x-2，x∈[-1，3]的最值；

（2）求函數y=x2-2x-2，x∈[-4，0]的最值；

（3）求函數y=x2-2x-2，x∈[3，5]的最值。

改變定義域的范圍，將問題轉化為某一區間上求最值，讓學生體會分類討論的思想，同時也為下面進一步的變式做好鋪墊。

變式2：

（1）已知函數y=x2-2x-2，x∈[t，t+1]，求函數的最值；

（2）已知函數y=x2-2x-2，在x∈[0，t]上有最小值-2，最大值-1，求實數t的取值范圍；

（3）已知函數y=x2-2ax-a，x∈[3，5]，求函數的最值；

將原來具體數據抽象為區間含參數或表達式問題，將具體問題抽象化，特殊問題一般化，從而滲透數形結合、分類討論、概括與抽象等數學思想方法。

變式3：

（1）已知不等式x2-2ax-a>0在區間[2，4]上恒成立，求a的取值范圍；

（2）已知不等式x2-2ax-a≥0在區間[2，4]上恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知不等式x2-2ax-a>0在區間（2，4）上恒成立，求a的取值范圍；

（4）存在x∈[2，4]，使得不等式x2-2ax-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

由原來求函數的最值問題，變成不等式恒成立問題和存在性問題，既鞏固了求最值問題，又解決了一類新的問題。令f（x）=x2-2ax-a，則不等式x2-2ax-a>0恒成立，即f（x）>0恒成立，可轉化為f（x）min>0；或者結合圖像，f（x）>0恒成立就是函數圖像在x軸上方；或者分離變量，最終轉化為求新函數的最值問題。

總之我們在教學實踐中，經常性的進行一系列的變式訓練，利用變換條件，變換題型，變換解法等形式多樣，內容豐富的變式訓練，可以讓學生從中領悟和歸納數學思想，可以很好的提高學生的數學素養，提高分析問題和解決問題的能力。

責任編輯龍建剛