查漏補缺之計數原理

童殷

從近幾年的各地高考試題來看，高考對計數原理的要求文理科有所不同：理科主要考查分類加法計數原理與分步乘法計數原理、排列與組合、二項式定理，以選擇題、填空題為主，有時會將排列與組合跟其他知識結合作為選擇題或填空題的壓軸題；文科主要考查二項式定理，同樣以選擇題、填空題為主，但難度遠遠小于理科試題.

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1. 分類加法計數原理與分步乘法計數原理

你知道分類加法計數原理與分步乘法計數原理的區別在什么地方嗎？

作答：______________________

兩者都是涉及完成一件事的不同方法的種數.它們的區別在于：分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成了.

2. 排列與組合

（1）你還記得排列數公式與組合數公式嗎？

作答：______________________

（2）組合數公式有哪兩個性質？

作答：______________________

（3）求排列與組合的方法有哪些？

作答：______________________

（1）排列數公式：A■■=n（n-1）…（n-m+1）=■，規定0！=1；組合數公式：C■■=■=■=■，由于0！=1，故C■■=1.

（2）C■■=C■■，該公式說明從n個不同元素中取出m個元素與從n個不同元素中取出n-m個元素是一一對應關系，實際上就是“取出的”與“留下的”是一一對應關系；C■■=C■■+C■■，該公式說明從a1，a2，…，a■中取出m個元素的組合數C■■可以分成兩類：第一類含有元素a1，共C■■個；第二類不含有元素a1，共C■■個.

（3）分類法和分步法、插空法和捆綁法、選排問題先選后排法、特殊元素和特殊位置優先法、元素相同問題隔板法、正難則反法等.

3. 二項式定理

（1）通項公式是什么？

作答：______________________

（2）二項式系數的性質是什么？

作答：______________________

（1）通項公式是T■=Crnan-rbr（r=0，1，2，…，n），其中C■■叫做二項展開式第r+1項的二項式系數，二項式系數與a，b取值無關.

（2）①對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C■■=C■■.

②增減性與最大值：當n是偶數時，中間一項第■+1項的二項式系數最大；當n是奇數時，中間兩項第■項和第■項的二項式系數最大，且同時取最大值.

③各二項式系數的和：C■■+C■■+C■■+…+C■■=2n，其中C■■+C■■+…=C■■+C■■+…=2■，即奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，都等于2■. ■endprint