分類計數原理與分布計數原理

崔北祥

分類加法計數原理和分布乘法計數原理是求解計數問題的基礎，這部分知識的學習對抽象思維、邏輯思維以及思維的嚴密性要求較高. 它是高中數學中從內容到方法都比較獨特的一個組成部分，是進一步學習排列組合、概率論的基礎知識.

重點：理解分步、分類計數原理的概念；掌握分類與整合的數學思想；能解決簡單的實際應用問題.

難點：使用兩個原理求解問題時，應注意合理分類、準確分步.在求解時應明確分類與分步的標準，按元素的性質進行分類，按事件發生的過程進行分步.由于情況繁多，因此要對各種不同情況進行合理分類和準確分布，關鍵是分類與整合的數學思想形成與抽象歸納能力的培養.

1. 應用兩個計數原理要注意：①明確要完成什么事，即做什么；②分析完成這件事是分類還是分步，依據是什么，一般按元素的性質進行分類，按事件發生的過程進行分步；③檢查結果，是否存在重復與遺漏的情況，尤其是重復，檢查辦法是換一個方法再把問題求解一遍.

2. 兩個基本原理的共同點是把一個原始事件分解成若干個事件來完成，都是涉及完成一件事的不同方法的種數. 這兩個原理之間的聯系主要表現在兩個方面：一是兩個原理常常要協同作用，按“先分類，后分步”的原則進行；二是不少用乘法原理解決的問題，通過適當分類后同樣可以用加法原理來解決.

3. 兩者的區別可列表如下：兩個原理運用的基本策略：

（1）一一列舉的策略：一一列舉是最直接、最普遍的一種計數辦法，而我們最容易忽視.利用網狀圖和樹形圖列舉不僅可以從問題本質上打開思路，解開思維死結，而且解法樸實，效果明顯.

（2）化歸轉化的策略：將研究對象化歸轉化為另一種研究對象，使研究對象形象化、明確化，從問題的反面、側面來考慮，從而避開問題的“陷坑”.兩個計數原理中蘊涵著豐富的化歸轉化思想.

（3）整體與部分的策略：任何問題中整體和局部都是相對的，面對一個問題中的元素、解題環節怎么劃分十分關鍵，如果能做到元素識別準確、環節劃分合理，問題求解過程就會簡化，思路就會順暢.

（4）建立圖式模型的策略：將所研究的問題、對象、元素以及過程環節，用數學圖式表示，變抽象為形象、具體，就會使問題簡易化.

■例1 同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人送出的賀卡，則4張賀卡的不同的分配方式有（ ）

A. 6種 B. 9種

C. 11種 D. 23種

思索 將同室4人分別記為a，b，c，d，利用4個取卡的情況分步來確定，關鍵是要弄清楚分步時每步的順序，例如a先取走c的卡，則下一步應由c取，否則由b，c，d中一人取，就很難斷定是有3種還是2種取法了.本題也可以看做兩個原理的交替應用，用列表表示一目了然，便于分析計數.

破解 法1：第一步，4個人中的任意一人（例如a）取一張，則由題意知共有3種取法；第二步，由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步，由剩余的兩人中的任一人取，只有1種取法；第四步，最后一人取，只有1種取法，由分步計數原理，共有3×3×1×1=9（種）.

法2：用“樹圖”表示如下：設a，b，c，d代表4個人，A，B，C，D分別代表這4個人寫的賀卡，則有如下列表.

■

所以共有9種不同的分配方式.故選B.

■例2 橢圓的長軸和短軸把橢圓分成4塊，現在有5種不同的顏料給4塊涂色，要求共邊兩塊顏色互異，每塊只涂一色，則一共有__________種不同的涂色方法.

■

圖1

思索 涂色問題是計數原理應用的典型問題，涂色本身就是策略的設計和運用過程. 涂色問題大致有兩種解決方案：（1）選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這是用分步乘法計數原理（其中有可能在有些步驟含有分類）進行計算；（2）根據涂色時所用顏色數多少進行分類處理. 其中有可能仍然需要分步（分類）處理. 本題的關鍵是對相對的區域A，C是否同色進行討論，用流程圖描述即為：

■

圖2

破解 法1：①給A，C涂同種顏色共有5種涂法，再給B涂色有4種涂法，最后給D涂色也有4種涂法，由分步乘法計數原理，此時共有5×4×4種涂法.

②記這五種顏色分別為a，b，c，d，e，則給A，C涂不同顏色共有ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，…，ea，eb，ec，ed這20種涂法，再給B涂色有3種方法，最后給D涂色也有3種，此時共有20×3×3種涂法. 故由分類加法計數原理知，共有5×4×4+20×3×3=260種涂法.

法2：①給A涂色有5種選擇；②給B涂色有4種選擇；③當C與A異色時，C有3種選擇，D有3種選擇，共9種選擇；當C與A 同色時，C有1種選擇（與A同色），D有4種選擇，由分步乘法計數原理知共有5×4×（9+4）=260種涂色方法.

■例3 對于一個四位數，其各位數字至多有兩個不相同，試求共有多少個這種四位數.

思索 一個問題同時用分布和分類時，對“類”與“步”的理解，要再上一個層次，可進一步地理解為：“類”用“+”號連接，“步”用“×”號連接，“類”獨立，“步”連續，“類”標志一件事的完成，“步”缺一不可.本題分恰好只有一種數字和恰好兩種數字這兩種情況討論，還要注意去雜.

破解 法1：第一類，只有一種數字，9個. 第二類，只有兩種數字，有三個相同，即形如■，■，■，■，■，■，■，■，共C■■×8個（包括首位為0的情況）. 第三類，只有兩種數字，各兩個相同，即形如■，■，■，■，■，■，共C210×6個（包括首項為0的情況）. 但由于0不能排在首位，0在首位的情況如下：有一個0，■，9個；有兩個0，■，■，■，9×3個；有三個0，■，■，■，9×3個，共9+C210×8+C210×6-9-9×3-9×3=576（個）.

法2：顯然，四位數字全部相同的四位數恰為9個. 下面考慮四位數字恰有兩個不同數字的四位數，分三個步驟考慮：第一步，先考慮前位數字，有9種可能取法：1，2，3，…，9. 第2步，再考慮百位、十位、個位上的數字，由于恰有兩個不同數字，故除了前位數字外，再從0，1，2，3，…，9中選出1個數字. 第3步，前兩步兩個數字確定后，再對個位、十位、百位上的數字進一步確定；這三個位置上分別各有兩種可選擇性，但要去掉一種情況，即個位、十位、百位上的數字選出的都和前位數字完全相同，故有（2×2×2-1）種選法. 綜上，共有四位數9+9×9×（2×2×2-1）=576（個）.

1. 由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數中，不能被 5 整除的數共有_______個.

2. 在2012年倫敦奧運選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4， 5，6，7，8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有_____種.

3. 設ai∈{0，1，2，…，9}，其中i=1，2，3，4，則在排列a1，a2，a3，a4中，至少有兩個9相鄰的排列的個數為_________.

參考答案

1. 192

2. 2880

3. 280. ■endprint