排列與組合

谷荷蓮

排列、組合問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ). 縱觀近幾年高考試題，排列、組合問題每年必考，特別是與概率分布問題結(jié)合的題目在高考中占有相當(dāng)?shù)谋戎?

重點(diǎn)：理解排列、組合的概念；掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)；能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題.

難點(diǎn)：排列、組合的綜合應(yīng)用，解題方法的靈活多變；元素異同、有序還是無(wú)序問題的區(qū)別，解答方法的選擇依據(jù)；元素、位置容易混淆，元素位置如何的對(duì)應(yīng).

1. 識(shí)別元素是解決排列、組合計(jì)數(shù)問題的首要條件

一個(gè)問題給出后，什么是“元素”，要看成幾個(gè)元素，元素中有沒有相同的元素，要不要“分層次”“分集團(tuán)”處理.

2. “元素”與“位置”的關(guān)系

大多計(jì)數(shù)問題都可以看做“元素”與“位置”的對(duì)應(yīng)關(guān)系問題，題目中“元素”與“位置”要如何對(duì)應(yīng)？比如：簡(jiǎn)單的組合問題就是只有一個(gè)位置，把所有的元素都放在一個(gè)位置，所以沒有順序；簡(jiǎn)單的排列問題就是元素個(gè)數(shù)與位置個(gè)數(shù)一樣多，所以計(jì)數(shù)時(shí)“先取后排”.

3. “有序”與“無(wú)序”是排列與組合的重要特征

“有序”為排列問題，“無(wú)序”為組合問題. 對(duì)于有特殊元素（位置）的排列、組合問題，特殊元素（位置）可優(yōu)先安排，也可采用間接法.

4. 解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律

（1）通過(guò)“元素”與“位置”的識(shí)別，將具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題，先確定怎么使用分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理：①單獨(dú)使用；②聯(lián)合使用.

（2）再確定如何用排列模型或組合模型解決問題.

（3）對(duì)于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：①元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素. ②位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置. ③相同“元素”排列時(shí)注意利用除法“消序”. ④整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù).

（4）對(duì)解組合問題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)胤诸愑?jì)算，是解組合題的常用方法. ②用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”. ③設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在. ④相同“元素”組合時(shí)注意利用“擋板法”或“不定方程法”.

■例1 三名女同學(xué)和兩名男同學(xué)排成一排照相，要求女同學(xué)站在一起，男同學(xué)也站在一起，且女同學(xué)甲不排在左邊第一個(gè)，則有多少種排法？（ ）

A. 36種 B. 32種？搖？搖？搖

C. 24種 D. 20種

思索 對(duì)于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁并看做一個(gè)元素再與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素進(jìn)行自排；對(duì)于不相鄰問題，可以先安排好沒有限制條件的元素，然后在排好的元素之間的空位再排入不相鄰的元素，要注意不相鄰問題和相鄰問題的處理方式的不同之處. 本題同時(shí)要注意剔除女同學(xué)甲排在左邊第一個(gè)的情況.

破解 法1：把女同學(xué)捆綁在一起，男同學(xué)捆綁在一起，共有A■■·A■■·A■■=24種排法，剔除女同學(xué)甲在左邊第一個(gè)的排法，有A■■·A■■=4種，所以滿足條件的排法有24-4=20種.

法2：按條件進(jìn)行分類：第一類，兩名男同學(xué)排在左邊第一、第二的位置，共有A■■·A■■=12種；第二類，兩名男同學(xué)排在第四、第五的位置，且女同學(xué)甲不排在左邊第一個(gè)，共有C■■A■■A■■=8種. 綜上可知，總共有12+8=20種排法.

■例2 某城市有7條南北走向的街，5條東西走向的街，如果從城市的一端的O地走向另一端的A地，如圖1，最短走法有多少種？

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圖1

思索 本題屬于兩類不同元素的排列問題，模型是部分相同元素的排列問題，一般地，含有m個(gè)元素的排列，其中有n個(gè)相同的元素（m>n），則這m個(gè)元素共有■種排列方法.

破題 法1：以a表示一段東西走向的街，b表示一段南北走向的街，每一種路程都必須含有6個(gè)a和4個(gè)b，因此不同走法就是6個(gè)a和4個(gè)b的全排列，其排列數(shù)有■=210種，所以最短的走法有210（種）.

法2：?jiǎn)栴}等價(jià)轉(zhuǎn)化為從4+6=10條街中選出6條街，設(shè)a表示一段東西走向的街，b表示一段南北走向的街，問題等價(jià)于從10個(gè)空位中選出6個(gè)填上a，即有C■■=210（種）.

■例3 定義：任何一條棱都不與面垂直的三棱錐稱為“斜三棱錐”.現(xiàn)在從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)作為三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，則其中“斜三棱錐”的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 24 B. 26 C. 34 D. 50

思索 涉及幾何圖形的排列、組合問題，應(yīng)根據(jù)圖形特征及題目要求求解，要特別注意共點(diǎn)、共線、共面，線線平行、垂直，線面平行、垂直，面面平行、垂直等特殊情況的處理. 計(jì)算時(shí)可以用直接法，也可以用間接法，要注意在限制條件較多時(shí)，分類計(jì)算符合題意的組合數(shù).

■

圖2

破題 在正方體一個(gè)面的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，在與這個(gè)面平行的面的正方形中只能有一個(gè)頂點(diǎn)與剛才三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成“斜三棱錐”（比如：三棱錐D1-ABC），所以這一對(duì)平行平面的頂點(diǎn)共構(gòu)成2×C■■=8個(gè)“斜三棱錐”，正方體中共有三對(duì)平行平面，所以可以構(gòu)成“斜三棱錐”3×8=24個(gè)，另外正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)可以構(gòu)成2個(gè)正四面體（四面體A1C1BD和四面體ACB1D1），故“斜三棱錐”共有24+2=26個(gè).

1. 某學(xué)校有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加“北大”“清華”“港大”三個(gè)學(xué)校的自主招生考試，每個(gè)學(xué)校至少有一名學(xué)生報(bào)考，且甲、乙兩名學(xué)生不報(bào)考同一個(gè)學(xué)校，則不同的報(bào)名方法有（ ）

A. 72種 B. 36種

C. 30種 D. 18種

2. 已知四面體6條棱所在直線中有三對(duì)異面直線，那么在過(guò)正八面體（由兩個(gè)棱長(zhǎng)相同的四棱錐拼接而成，如圖3）的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的所有直線中，隨機(jī)取兩條，則這兩條直線異面的種數(shù)有（ ）

A. 24

B. 36

C. 48

D.60

3. 將5名學(xué)生分到A，B，C三個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少1人至多2人，其中學(xué)生甲不到A宿舍的不同分法種數(shù)有（ ）

A. 18 B. 36

C. 48 D. 60

4. 一行7個(gè)空格，現(xiàn)在要寫上4個(gè)漢字，恰有兩個(gè)空格是相鄰的情況的種數(shù)是______.

參考答案

1. C 2. B 3. D

4. 480？搖把4個(gè)寫上漢字的空格看做4個(gè)元素，分別為a，b，c，d，把三個(gè)空格中的2個(gè)捆在一起看做一個(gè)元素A，剩下一個(gè)空格看做一個(gè)元素B，先把寫上字的4個(gè)元素a，b，c，d任意排列，再在五個(gè)空檔中有順序的放上A，B兩個(gè)元素，則共有A■■·A■■=480種. ■endprint