善用枚舉法解排列、組合及概率統計題

在解決排列、組合及概率統計等與計數有關的問題時，有不少讀者認為枚舉法是“最煩、最繁、最差、最沒有技術含量”的方法，其實不然：第一，當基本事件總數較少但情況又稍復雜時，枚舉法一清二楚；第二，枚舉法應當是解這類題時首先想到的方法，比如樹形圖、列表法等；第三，即使枚舉法失敗，也可由此發現部分規律，對解題亦有幫助. 因此，解決計數問題時，應重視枚舉法.

題1 某汽車站每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級的客車各一輛. 某天張先生準備從該汽車站前往省城辦事，但他不知道客車的等級情況，也不知道發車順序. 為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么張先生乘上上等車的概率是________.

解：這里的一次試驗是“每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級的客車各一輛”，試驗成功的情形是“張先生采取上述策略能乘上上等車”.

先枚舉出一次試驗可能的所有情形：①上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上. 其中試驗成功的情形是③④⑤三種，所以所求的概率是■=■.

題2 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有2名女生相鄰，不同排法種數是________.

解：設想6位同學站成一排分別站的位置是1，2，3，4，5，6. 因為男生甲不站兩端，所以可分以下四種情形：

（1）甲站的位置是2. 此時3位女生站的位置只能是（1，34），（1，45），（1，56），（34，6），（3，56）這5種情形，可得此時有5A■■A■■=60種排法.

（2）甲站的位置是3. 此時3位女生站的位置只能是（12，4），（12，5），（12，6），（1，45），（1，56），（2，45），（2，56）這7種情形，可得此時有7A■■A■■=84種排法.

（3）甲站的位置是4. 此時的排法數同（2）.

（4）甲站的位置是5. 此時的排法數同（1）.

所以所求答案為（60+84）×2=288.

注 列舉時可先選好標準進行分類，而每一類中列舉時可按照字典排列法（小的在前，大的在后），這樣可做到不重不漏.

題3 （2008年高考山東卷）在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.

（1）從中任選3人，求選出的火炬手的編號能組成等差數列的概率；

（2）從中任選3人（但這3人之間有順序），求選出的火炬手的編號按選出的順序恰為等差數列的概率.

解：公差為1，2，3，…，8的等差數列分別有16，14，12，…，2個，所以滿足題意的等差數列共有16+14+12+…+2=72個. 所以所求概率分別為：（1）■=■；（2）■=■.

題4 （2009年高考湖北卷）一個盒子里裝有4張大小、形狀完全相同的卡片，分別標有數2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數3，4，5，6. 現從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數記為y，記隨機變量η=x+y，求η的分布列和數學期望.

解：我們先列出所有可能的情形（見下表）：

■

所以隨機變量η的分布列和數學期望分別為：

■

E（η）=5·■+6·■+7·■+8·■+9·■+10·■+11·■=8.

題5 （2009年高考遼寧卷）某人向一目標射擊4次，每次擊中目標的概率為■. 該目標分為3個不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1∶3∶6. 擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比.

（1）設X表示目標被擊中的次數，求X的分布列；

（2）若目標被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P（A）.

解：（1）略.

（2）我們先列舉出目標被擊中2次時被擊中各部分的所有情形：

■

只有情形1，2，3，4，5，7滿足題意，所以

P（A）=0.1+0.3×（0.1+0.3）+0.6×0.1=0.28.

題6 （2007年高考山東卷）設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數（重根按一個計）.

（1）求方程x2+bx+c=0有實根的概率；

（2）求ξ的分布列和數學期望；

（3）求在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根的概率.

解：方程x2+bx+c=0的判別式為Δ=b2-4c（b，c∈{1，2，3，4，5，6}），因為該方程實根的個數是0，1，2分別等價于Δ<0，Δ=0，Δ>0，所以我們先列出下面的表格：

■

其中Δ<0與Δ>0的情形各有17種，Δ=0的情形有2種，總計36種情形. 所以有：

（1）所求概率p=■=■；

（2）ξ的分布列為：

■

ξ的數學期望為E（ξ）=0·■+1·■+2·■=1.

（3）由表格中b=5所在的列及c=5所在的行知，所求概率p=■.

注：該解答比參考答案要簡潔清楚明白，第（3）問的參考答案是用條件概率來求解的，而這里是僅用古典概率來求解的.

題7 （2010年高考江西卷）某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門. 首次到達此門，系統會隨機（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門. 再次到達智能門時，系統會隨機打開一個你未到過的通道，直至走完迷宮為止. 令ξ表示走出迷宮所需的時間.endprint

（1）求ξ的分布列；

（2）求ξ的數學期望.

解：我們先列出所有可能的情形（見下表）：

■

所以本題的答案是：

（1）

■

（2）E（ξ）=1·■+3·■+4·■+6·■=■（h）.

題8 （2013年高考山東卷）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束. 除第五局甲隊獲勝的概率是■外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是■. 假設每局比賽結果互相獨立.

（1）分別求甲隊以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；

（2）若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數學期望.

解：比賽的結果共有以下六種情形：

■

（1）甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率分別是■，■，■.

（2）X的分布列為：

■

E（X）=1·■+2·■+3·■=■.

題9 （2010年高考安徽卷）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試. 根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.

現設n=4，分別以a1，a2，a3，a4表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，

則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

（1）寫出X的可能值集合；

（2）假設a1，a2，a3，a4等可能地為1，2，3，4排列，求X的分布列；

（3）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X≤2，

①試按（2）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；

②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.

解：這里的一次試驗是“將1，2，3，4排序”，可以枚舉出這A■■=24種排列及其對應的X值，如下表：

由此表立得本題的答案是：

（1）X的可能值集合為{0，2，4， 6，8}.

（2）在等可能的前提下，得

■

（3）①■+■3=■.

②因為■<0.005，所以事件①發生是小概率事件，說明僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X≤2的可能性很小. 因此可以認為該品酒師確實具有良好的酒味鑒別功能，不是靠隨機猜測的.

注：從閱卷情況看，這道高考壓軸題的得分率極低. 筆者認為造成這種情形的主要原因是考生不會用最簡單的原始方法——枚舉法解決計數問題，只知道套用排列、組合公式解決復雜的計數問題，殊不知，用簡單的枚舉法也能輕松解決計數以及概率統計問題. ■endprint