排列組合中插空模型的最佳解決方略

在解決實(shí)際問題時(shí)，我們常常需要構(gòu)建諸如函數(shù)模型、數(shù)列模型等數(shù)學(xué)模型，在解決排列組合的應(yīng)用問題時(shí)，我們也要將一些具體問題數(shù)學(xué)化、一般化、規(guī)律化，即建立一個(gè)模型來求解某一類問題.搞清楚問題的實(shí)質(zhì)，有利于培養(yǎng)我們的抽象能力、概括能力、數(shù)學(xué)建構(gòu)的能力.本文通過例題來辨析插空模型的各種不同解決方法.

■一、不同元素互不相鄰——排列問題中的插空

■例1 有4名學(xué)生和3名老師排成一排：

（1）（直接插空）？搖3名老師兩兩不相鄰，有多少種不同的排法？

解：第一步，先將4名學(xué)生進(jìn)行全排列，共A■■種不同的排法，第二步，排老師，因老師不相鄰，所以插空安排共A■■種不同方法，故排法總數(shù)為A■■A■■=1440.

（2）（相間插空法）師生相間排列，有多少種不同的排法？

分析：由題意知，學(xué)生兩兩不相鄰、老師也是兩兩不相鄰，故比第（1）題多了一個(gè)限制條件，此時(shí)兩類元素都插空，故只能在連續(xù)的幾個(gè)空位處插空.

解法1：先排3名老師，有A■■種方法，再在4個(gè)空位處排4名學(xué)生，有A■■種不同排法，故排法總數(shù)為A■■A■■=144.

解法2：先排4名學(xué)生，后排3名老師，有A■■A■■=144種方法.

變式：若4名學(xué)生中的甲、乙、丙和3名老師排成一排，且?guī)熒嚅g，有多少種不同的排法？

解：先排3名老師，有A■■種方法，再在4個(gè)空位中的前3個(gè)或者后3個(gè)中排甲、乙、丙3名學(xué)生，故排法總數(shù)為A■■（A■■+A■■）=72.

（3）（順序一定條件下插空） 4名學(xué)生甲、乙、丙、丁順序已定（不一定相鄰），有多少種不同的排法？

解法1：（分類）第一類：三個(gè)老師兩兩不相鄰，插空，有A■■種不同方法；第二類：三個(gè)老師有兩個(gè)相鄰，有C■■A■■A■■種不同方法；第三類：三個(gè)老師在一起，有A■■A■■種不同方法. 綜上，共A■■+C■■A■■A■■+A■■A■■=210種不同方法.

解法2：（依次插空）共有A■■A■■A■■=210種不同方法.

變式：7人站成兩排，前4后3，現(xiàn)從前排抽1人到后排，其他人相對順序不變，有多少種不同的排法？

解：（先選后排），第一步，從前排選1人，有C■■種不同方法，第二步，在后排4個(gè)空位處插入此人，有A■■種不同方法，故據(jù)乘法原理，共C■■A■■=16種不同排法.

其他條件下的插空

（4）甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰，有多少種不同的排法？

解：第一步，將甲、乙捆綁，有A■■種不同方法；第二步，將甲、乙看做一個(gè)元素，和3名老師全排列，有A■■種不同的方法；第三步，將丙、丁插空，有A■■種不同方法. 故排法總數(shù)為A■■A■■A■■=960.

■二、相同元素互不相鄰——組合問題中的插空

相同的元素插空時(shí)，只選位置，不用排列！（也可理解為選出位置，就已經(jīng)排好了）

■例2 馬路上有7盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以熄掉其中的3盞路燈，但不能同時(shí)熄掉相鄰的2盞或3盞，則滿足條件的熄燈方法有多少種？

解：4盞亮著的路燈產(chǎn)生的5個(gè)空位中插入3盞熄掉的路燈，故有C■■=10種不同方法.

變式1：某人射擊7槍命中3槍，命中的3槍沒有任何2槍是相鄰的，若按“命中”和“不命中”報(bào)告結(jié)果，則不同的結(jié)果有多少種？

解：同例2，4槍不命中產(chǎn)生的5個(gè)空位中插入3槍命中的，有C■■=10種不同方法.

變式2：某人射擊7槍命中3槍，恰有2槍是連續(xù)命中的，若按“命中”和“不命中”報(bào)告結(jié)果，則不同的結(jié)果有多少種？

解：連續(xù)命中的2槍看做一個(gè)整體（元素），4槍不命中產(chǎn)生的5個(gè)空位中插入2個(gè)“不同”的元素，有A■■=20種不同方法.

變式3：甲、乙坐在一排7個(gè)座位上，恰有4個(gè)連續(xù)空位，有多少種不同的排法？

解：（座位插空）4個(gè)連續(xù)的空位看做一個(gè)整體（元素），甲、乙排好后的3個(gè)空位中插入2個(gè)“不同”元素，有A■■A■■=12種不同的排法.

變式4：甲、乙坐在一排7個(gè)座位上，使每個(gè)人左右都有空位，有多少種不同的排法？

解：（人插空）5個(gè)空座位產(chǎn)生的中間4個(gè)空位中插入2個(gè)人，有A■■=12種不同的排法.

變式5：有7盞路燈，現(xiàn)在用紅、黃、藍(lán)3種顏色對路燈進(jìn)行裝飾，每種顏色至少2盞燈，且相同顏色的燈兩兩不相鄰，有多少種不同的涂色方法？

解：三種燈分2、2、3選擇顏色，有3種方法，不妨設(shè)“紅紅、黃黃、藍(lán)藍(lán)藍(lán)”. 第一類：先排“紅紅黃黃”4盞燈，4盞燈兩兩相鄰有2種方法，再排3盞藍(lán)色的有C■■=3種插法，共有2×3=6種方法. 第二類：“紅黃紅黃”4盞燈兩兩不相鄰有2種方法，3盞藍(lán)色燈插空，有C■■種方法，共有種2C■■=20方法. 第三類：“紅黃黃紅”4盞燈中有一種顏色的燈相鄰有2種方法，3盞藍(lán)色燈插空有C■■=6種插法，共有2C■■=12種. 綜上“紅紅，黃黃，藍(lán)藍(lán)藍(lán)”時(shí)有38種方法，故一共有3×38=114種不同涂色方法.

此類問題情境的設(shè)置越來越符合生活實(shí)際，能否將實(shí)際問題正確轉(zhuǎn)化為排列、組合問題，是解題的關(guān)鍵.插空模型是解決其中一類問題的一個(gè)模型，從以上例題及變式，不難看出，應(yīng)用插空模型的關(guān)鍵是識別出插空模型，具體是指：元素不相鄰或部分元素不相鄰的問題，可以采用插空模型解決. 而在具體插空時(shí)要特別注意的是“排列”還是“組合”，尤其組合對我們來說不易判斷與區(qū)分.還有要注意與其他模型的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是決定一個(gè)策略，以解決一個(gè)問題（實(shí)驗(yàn)），這個(gè)問題的解決可能要用到分類討論思想等. ■endprint