傾聽概率問題的“弦外之音”

高中階段的概率問題大都以等可能事件、互斥事件、相互獨立事件為主，對于一般事件的概率只要理清事件的結(jié)構組成關系即可解決. 但對一些較為隱蔽的事件，一定要傾聽概率問題的“弦外之音”，把握問題的本質(zhì)，才能解決問題. 下面舉例說明.

■例1 某人射擊一次擊中目標的概率為■，假設此人連續(xù)兩次未擊中目標就被終止射擊，求此人恰射擊5次被終止的概率.

解析：因為“連續(xù)兩次未擊中目標就被終止射擊”， 所以“此人恰射擊5次被終止”的“弦外之音”是第4次、第5次均未中，第3次擊中（否則第4次已被終止），且前兩次至少擊中1次（否則第2次已被終止）.

設此人第i次擊中目標為事件Ai（i=1，2，…，5），則事件“此人恰射擊5次被終止”可表示為：（■）A3（■）. 又P（■）=1-■=■，各次射擊相互獨立，故所求事件的概率為

P（■5）P（■4）P（A3）（1-P（■）P（■））=■·■·■1-■·■=■.

■例2 A，B兩同學各有5張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲. 應保證面朝上時A贏一張卡片，否則B贏一張，如果某人贏得所有的卡片，則游戲終止，求投擲硬幣的次數(shù)不大于7次的概率.

？搖解析：本題的“弦外之音”較為復雜. 顯然每擲一次A贏的概率是■，根據(jù)游戲規(guī)則，至少擲5次才能終止游戲. 下面就擲5次、6次、7次逐一討論.

（1）若擲5次A贏，終止游戲，則這5次A全贏，概率為■5. 當然B也可以贏，故擲5次終止游戲的概率是2×■5.

（2）若擲6次A贏，顯然第6次A贏，而且第5次A也要贏（否則若A第5次輸?shù)粢粡埧ㄆ?次又贏回一張，相當于第6次后A的卡片數(shù)是第4次擲完后的數(shù)，這個數(shù)最多是9張，即A不可能贏）；前4次若A全贏，則擲第5次是游戲終止，前4次若A至多贏3次，則擲完6次后，A至多贏4張，這樣就產(chǎn)生了矛盾，所以擲6次游戲終止不可能.

（3）若擲7次A贏，終止游戲，弦外之音為第6次、第7次A全贏且前5次A恰贏4次輸1次，其概率為：■·■·C45■4■，所以擲7次終止游戲的概率是2·■·■·C■■■4■.

綜上（1）（2）（3），投擲硬幣的次數(shù)不大于7次的概率是2×■5+2·■·■·C■■■4■=■.

引申：以上解析是分析“投擲硬幣的次數(shù)不大于7次”事件的所有可能，事實上，這個問題可以代數(shù)化，設ξ為游戲終止時投擲硬幣的次數(shù)，正面朝上的次數(shù)為m，反面朝上的次數(shù)為n，其中m，n，ξ均為不大于7的自然數(shù)，由題意知m-n？搖=5，m+n=ξ.

當m=5，n=0或m=0，n=5時ξ=5；當m=6，n=1或m=1，n=6時ξ=7，

所以P（ξ≤7）=P（ξ=5）+P（ξ=7）=2■5+2C■■■7=■.

■例3 某一食品出廠前要有五項指標的檢驗，如果兩項及兩項以上不合格就不準出廠. 五項指標的檢驗是相互獨立的，每項指標不合格的概率是0.2，求直到五項指標全部檢驗完畢，才確定該食品是否可以出廠的概率.

解析：根據(jù)能否出廠的要求，“直到五項指標全部檢驗完畢，才確定該食品是否可以出廠”的“弦外之音”就是第五項指標若合格即可出廠，否則就不能出廠，也就是說前四項指標有且只有一項不合格.（否則若前四項全合格，無論第五項合格與否，五項指標至多有一項不合格，則第四項檢驗后就可以確定出廠；若前四項中有兩項及兩項以上不合格，第四項檢驗后就可以確定不能出廠），故直到五項指標全部檢驗完畢，才確定該食品是否可以出廠的概率是C■■0.210.83=0.4096.

■例4 如果早上送報紙的時間是7：00—8：00，某人上班出發(fā)的時間是7：30—8：30，而且送報紙和上班出發(fā)的時間都是隨機的，求此人在上班前能看到報紙的概率.

？搖？搖解析：“在上班前能看到報紙”，其“弦外之音”就是送報紙的時刻要早于上班出發(fā)的時刻.

故可以設7：00對應第0分鐘，送報紙的時刻為第x分鐘，上班出發(fā)的時刻為第y分鐘，則x，y應滿足不等式組0≤x≤60，30≤y≤90，x≤y，問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃與幾何概型問題，如圖1，

■

圖1

故所求的概率為？搖？搖？搖？搖

p=■=■=1-■=1-■=■.

由以上例題解析的過程，我們發(fā)現(xiàn)“弦外之音”的揭開往往要用到反證法，而且揭開概率問題的“弦外之音”的一般流程是：（以例1說明）endprint