閑看問(wèn)題如臨花照水，巧借參數(shù)似云卷云舒

■巧借參數(shù)，便于運(yùn)算，妙釋疑難

例1 已知x，y，z>0，且lgx+lgy+lgz=0，求x■·y■·z■的值. （選自高三考試題）

解析：由lgx+lgy+lgz=0？圯lg（xyz）=0？圯xyz=1.

設(shè)x■·y■·z■=t， ①

將①式兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù)得

lgx■·y■·z■=lgt

？圯lgx■+lgy■+lgz■=lgt

？圯■+■lgx+■+■·lgy+■+■lgz=lgt

？圯■+■+■+■+■+■=lgt

？圯logyx+logzx+logzy+logxy+logxz+logyz=lgt

？圯logy（xz）+logz（xy）+logx（yz）=lgt. ②

由xyz=1得到xz=■，xy=■，yz=■，代入②得到

logy■+logz■+logx■=lgt

？圯（-1）+（-1）+（-1）=lgt

？圯lgt=-3=lg10-3

？圯t=10-3=■，

即x■·y■·z■=t=■.

點(diǎn)評(píng)：本題化簡(jiǎn)x■·y■·z■較為復(fù)雜，我們通過(guò)引入?yún)?shù)t，將式子x■·y■·z■設(shè)為t，將題目中要求的值轉(zhuǎn)化為求t的值. 而等式x■·y■·z■=t是較為容易化簡(jiǎn)的，只需將等式兩邊同取對(duì)數(shù)，容易算出t=10-3=■，于是得到結(jié)果. 本題通過(guò)巧借參數(shù)t使式子x■·y■·z■便于運(yùn)算.

■巧借參數(shù)，利用意義，妙釋疑難

例2 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2，1）時(shí)，■的坐標(biāo)為_(kāi)__________. （選自2012年高考山東卷）

■

圖1

解析：如圖1所示，設(shè)Q（2，1），Q在x軸的射影為B. 設(shè)弧PB的長(zhǎng)為l，過(guò)點(diǎn)Q且平行與x軸的直線QM交圓Q右側(cè)于M點(diǎn)，設(shè)∠PQM=θ，此時(shí)圓Q：（x-2）2+（y-1）2=1.

由題意知l=OB=2，則∠PQB=■=2，則∠PQM=θ=■-2. 對(duì)于圓Q：（x-2）2+（y-1）2=1上點(diǎn)P（x，y），由圓的參數(shù)方程的幾何意義知

x=2+cosθ，y=1+sinθ，

即x=2+cos■-2=2-sin2，y=1+sin■-2=1-cos2，

所以■=（2-sin2，1-cos2）.

點(diǎn)評(píng)：本題先利用弧長(zhǎng)公式得到∠PQB=■=2，再由圓的參數(shù)方程的幾何意義知圓Q上點(diǎn)P（x，y）滿足x=2+cosθ，y=1+sinθ，①將θ的值代入①化簡(jiǎn)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出■的坐標(biāo). 因此，解決本題的關(guān)鍵是巧借參數(shù)θ，利用參數(shù)θ的幾何意義解題.

■巧借參數(shù)，減少變量，妙釋疑難

例3 已知P（x，y）是橢圓■+■=1上的點(diǎn)，求x+y的取值范圍. （選自高三考試題）

解析：本題采用三角換元.

令x=3cosθ，y=■sinθ，

則x+y=3cosθ+■sinθ=■·sinθ+■=2■sinθ+■∈[-2■，2■].

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)三角換元的方法巧借參數(shù)θ，于是我們將含兩個(gè)變量x和y的式子x+y變?yōu)楹粋€(gè)變量θ的式子3cosθ+■sinθ，從而減少未知量的個(gè)數(shù)，使式子便于處理.

■巧借參數(shù)，方可運(yùn)算，妙釋疑難

例4 已知圓C：x2+y2=9，點(diǎn)A（-5，0）. 在直線OA上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A），滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有■為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo). （選自江蘇模擬考試）

解析：設(shè)P（3cosθ，3sinθ），B（x0，0），

設(shè)■■=λ，

則？坌θ∈R，

■■=λ成立

？圯？坌θ∈R，

■=λ成立

？圯？坌θ∈R，9-6x0cosθ+x20=30λcosθ+34λ成立

？圯？坌θ∈R，（30λ+6x0）cosθ+34λ-x20-9=0成立

？圯30λ+6x0=0，34λ-x20-9=0，

？圯x0=-5，λ=1，（不合題意，舍去）或x0=-■，λ=■.

所以B的坐標(biāo)為-■，0.

點(diǎn)評(píng)：本題得到■為一常數(shù)，為了讓上式可以運(yùn)算下去，我們通過(guò)引入?yún)?shù)λ，構(gòu)造一個(gè)恒等式，從而求出B的坐標(biāo). 因此，本題是通過(guò)巧借參數(shù)，讓題目可以運(yùn)算下去.

■巧借參數(shù)，得到關(guān)系，妙釋疑難

例5 已知橢圓■+■=1以及點(diǎn)D（2，1），過(guò)D任意引直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程. （選自高三考試題）

解析：由題意，設(shè)點(diǎn)M（x，y）.

（1）當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，1）的直線l的方程為：

y-1=k（x-2），

即y=kx+1-2k.

將y=kx+1-2k與■+■=1聯(lián)立，

■+■=1，y=kx+1-2k，

？圯■+■=1

？圯■+■=1

？圯■+■x2+■x+■-1=0

？圯x=■=-■？搖

？圯x=-■ ①（此時(shí)x表示點(diǎn)M（x，y）的橫坐標(biāo)）.

又點(diǎn)M（x，y）在直線l：y-1=k（x-2）上，

所以k=■， ②

將②代入①，得

x=-■

？圯4x+9x■=-9■+18·■

？圯4x+9■+9（x-2）■=0

？圯4x+9■+9■=0

？圯4x（x-2）+9（y-1）+9（y-1）2=0

？圯4（x2-2x）+9（y2-y）=0

？圯4（x-1）2+9y-■■=■

？圯■+■=■■（x≠2）. ③

（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，M（2，0）在③上，符合題意.

綜合（1）（2）知，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為■+■=■■.

點(diǎn)評(píng)：本題要求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，因此設(shè)出點(diǎn)M（x，y），尋找x與y的關(guān)系即可.

我們通過(guò)巧借l的斜率k來(lái)聯(lián)系x與y，消去k即可得到x與y的關(guān)系. ■endprint