一類奇異擬線性橢圓型方程的正整解

許興業(yè)（廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué) 南國(guó)商學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東廣州510545）

一類奇異擬線性橢圓型方程的正整解

許興業(yè)
（廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué) 南國(guó)商學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東廣州510545）

摘要：研究一類形如div（|Du|p-2Du）=f（|x|，|Du|）u-β的奇異擬線性橢圓型方程的正整解問題，得到了2個(gè)解的存在性及性質(zhì)的定理.

關(guān)鍵詞：奇異擬線性橢圓型方程；正整解；閉凸子集；等度連續(xù)；不動(dòng)點(diǎn)定理

關(guān)于非線性橢圓型方程正整解存在性的研究已經(jīng)取得豐碩成果［1-5］，所研究的方程左邊多為形如Δu，Δ2u及Δmu的調(diào)和，雙調(diào)和及多重調(diào)和方程.但對(duì)形如下面的奇異擬線性橢圓型方程：

1主要結(jié)果

定理1設(shè)f（r,v）滿足：

（I）f（r,v）關(guān)于v∈R+=［0，∞）是增函數(shù)；

（III）存在常數(shù)c＞0使：

證令u（x）=y（|x|），則方程（1）可歸結(jié)為常微分方程的初值問題：

其中?p（y）=|y|p-2y，η為待定常數(shù).易見方程的解（4）等價(jià)于下面積分方程的解［6］：

從而只需討論積分方程（5）的可解性.由（II）知：

其中c是（III）中出現(xiàn)的常數(shù)，且對(duì)每一當(dāng)時(shí)有：

由（III）知：

于是由Lebesgue控制收斂定理得：

由（6）式知可以選擇充分小的常數(shù)η＞0使得：

記C1［0，∞）是定義在［0，∞）上的所有連續(xù)可微函數(shù)做成的空間，依通常的方法引入拓?fù)銫1［0，∞）.作集合：

則Y是C1［0，∞）的閉凸子集.定義映射Ψ∶Y→C1［0，∞）如下：

在這里補(bǔ)充定義：

下面需要證明映射Ψ是Y→Y的連續(xù)映射且ΨY是相對(duì)緊的.

（i）ΨY?Y.

對(duì)?y∈Y，由 （7）和（8）式得：

又由（8）式知，當(dāng)r＞0時(shí)：

注意到（10）式中：

所以Ψy?Y.

（ii）Ψ是連續(xù)映射.

維非零向量， 求矩陣：

設(shè)yi∈Y（i=1，2，…）且依C1［0，∞）的拓?fù)鋣i收斂于y.對(duì)?r∈［0，∞）由（8）、（10）式得：

由yi→y，|yi′|→|yi′|（i→∞）及函數(shù)f（r,v）的連續(xù)性，推出映射Ψ依C1［0，∞）拓?fù)湟饬x把Y連續(xù)映射到Y(jié).

（iii）Ψy是相對(duì)緊的.

于是（13）式對(duì)任意r≥0成立.從而在［0，M］上對(duì)（?p（（Ψy）′（r）））′有估計(jì)式（常數(shù)）從而在［0，M］上有估計(jì)式［?（Ψy）′（r）-p1即，故有：

要證明Ψy在Y中是相對(duì)緊的，即要證Ψy中任一序列｛（Ψy1）（r）｝必包含一個(gè)子序列，該子序列依C1［0，∞）的拓?fù)涫諗坑赮中的一個(gè)元素，只要對(duì)區(qū)間列，（其中Mj↑∞，當(dāng)j→∞）逐次利用Asco1i-Arze1a定理，并采用“取對(duì)角線子列”手續(xù)即可完成.

以上證明了Schauder-Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理［8］的條件全部滿足，所以Ψ存在不動(dòng)點(diǎn)y∈Y，即y就是方程（8）的解，且依Y的定義知y滿足η≤y≤2η，從而也就證明了方程（1）存在有界正整解u（x）=y（| x|），x∈Rn.

選擇ηk，（k=1，2，3，…）滿足（7）式，且使諸區(qū)間［ck,dk］互不相交，其中ck=ηk，dk=2ηk，則對(duì)每一k，由上面的證明知方程（1）存在有界正整解uk（x），k=1，2，3，…且ck≤uk（x）≤dk，所以方程（1）存在無(wú)窮多個(gè)有界正整解.

定理2設(shè)f（r,v）滿足：

（I）f（r,v）是v∈R+增函數(shù)；

（III）存在常數(shù)c＞0使：

則方程（1）存在無(wú)窮多個(gè)有界正整解.其中：

由于定理（2）與定理（1）的條件差異僅在第二個(gè)，故證明過(guò)程與定理（1）類似，只需把定理（1）證明過(guò)程中“存在充分小的η使得（7）式成立“改為”存在充分大η的使（7）式成立”即可.

參考文獻(xiàn)：

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［8］Edwards R E.Functiona1 Ana1ysis［M］.New York:Rinchart and Winston，1995.

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

中圖分類號(hào)：O175.25

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1OO7-5348（2O15）12-OOO1-O4

［收稿日期］2015-08-12

［作者簡(jiǎn)介］許興業(yè)（1952-）男，廣東普寧人，廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué)南國(guó)商學(xué)院教授；研究方向：非線性橢圓型偏微分正整解理論與應(yīng)用.

The Positive Entire Solutions of a Class of Singular Quasilinear ElliPtic Equations

XU Xing-ye
（DePartment of Pub1ic Course Teaching，South China Business Co11ege，Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510545，Guangdong，China）

Abstract:The PaPer studied the Prob1em of Positive entire so1utions of a c1ass of singu1ai quasi1inear e11iPtic equations and have attained two existence theorems of so1utions and ProPerties，such as div（|Du|p-2Du）=f（|x|，|Du|）u-β.

Key words:singu1ar quasi1inear e11iPtic equations；Positive entire so1utions；c1ose convex subset；equicontinuity；fixed Point theorem.