如何用頻率來估計概率

顧長亮

在蘇科版初中數(shù)學(xué)課本里所學(xué)習(xí)的概率計算問題有以下類型：第一類是可以列舉有限個等可能發(fā)生的結(jié)果的概率計算問題（一步試驗直接列舉，兩步以上的試驗可以借助樹狀圖或表格列舉），比如擲一枚均勻硬幣的試驗；第二類是用試驗或者模擬試驗的數(shù)據(jù)計算頻率，并用頻率估計概率的概率計算問題，比如擲圖釘?shù)脑囼灐Ｔ诎四昙壍臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概率的計算，主要是第二類題型，我們知道頻率是研究概率的基礎(chǔ)，所以利用頻率估計概率的試題頻頻出現(xiàn)在各地的中考試卷中，下面以中考題為例，來剖析這一類題型的解法。

一、填空題中的用頻率估計概率

例1.在課外活動中，小明同學(xué)在相同的條件下做了某種作物種子發(fā)芽的實驗，結(jié)果如下表所示：

由此估計這種作物種子發(fā)芽率約為 （精確到0.01）.

解：由公式種子的發(fā)芽率= 可求出種子的發(fā)芽率為0.939，因為精確到0.001故答案為0.94.

點評：本題考察了百分率問題（1）種子的發(fā)芽率= ；（2）注意括號的中的要求為精確到0.01

例2.有一箱規(guī)格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個.為了估計這兩種顏色的球各有多少個，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重復(fù)上述過程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率約為0.6，據(jù)此可以估計紅球的個數(shù)約為 .

解：解：∵摸到紅球的頻率約為0.6，∴紅球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600.

故答案為：600.

點評：本題考查用頻率估計概率，因為多次重復(fù)上述過程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率約為0.6，所以紅球所占的百分比也就是60%，根據(jù)總數(shù)可求出紅球個數(shù).

二、選擇題中的用頻率估計概率

例3.“六·一”兒童節(jié)，某玩具超市設(shè)立了一個如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，開展有獎購買活動.顧客購買玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎品.下表是該活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

下列說法不正確的是（ ）

A.當n很大時，估計指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率大約是0.70

B.假如你去轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70

C.如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有600次

D.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得文具盒

解：由表中提供的信息可知，只有“轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得文具盒”的判斷不一定正確，故應(yīng)選D.

點評：正確正解頻率與概率之間的關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵. 由表中提供的信息，我們可以知道，當n很大時，指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率趨于0.70，由此，由頻率與概率之間的關(guān)系可知，假如你去轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70，如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有2000次×（1-0.7）=600次，而將轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次，卻不一定有3次獲得文具盒.

三、解答題中的用頻率估計概率

例4.六一期間，某公園游戲場舉行“迎奧運”活動.有一種游戲的規(guī)則是：在一個裝有6個紅球和若干個白球（每個球除顏色外其他都相同）的袋中，隨機摸一個球，摸到一個紅球就得到一個奧運福娃玩具.已知參加這種游戲活動為40 000人次，公園游戲場發(fā)放的福娃玩具為10 000個.

（1）求參加一次這種游戲活動得到福娃玩具的頻率；

（2）請你估計袋中白球接近多少個？

分析（1）由40 000人次中公園游戲場發(fā)放的福娃玩具為10 000個，結(jié)合頻率的意義可直接求得.（2）由概率與頻率的關(guān)系可估計從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率，從而引進未知數(shù)，構(gòu)造方程求解.

解（1）因為 = ，所以參加一次這種游戲活動得到福娃玩具的頻率為 .

（2）因為試驗次數(shù)很大，大數(shù)次試驗時，頻率接近于理論頻率，

所以估計從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率是 .

設(shè)袋中白球有x個，則根據(jù)題意，得 = ，解得x=18.經(jīng)檢驗x=18是方程的解.

所以估計袋中白球接近18個.

點評：利用頻率估計概率，并以此引進未知數(shù)構(gòu)造方程是求解此類問題的常用方法，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意體會和運用.

例5.研究問題：一個不透明的盒中裝有若干個只有顏色不一樣的紅球與黃球，怎樣估算不同顏色球的數(shù)量？

操作方法：先從盒中摸出8個球，畫上記號放回盒中，再進行摸球?qū)嶒灒驅(qū)嶒灥囊螅合葦嚢杈鶆颍看蚊鲆粋€球，放回盒中，再繼續(xù).

點評：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以得到50次摸球?qū)嶒灮顒又校霈F(xiàn)紅球20次，黃球30次，由此即可求出盒中紅球、黃球各占總球數(shù)的百分比；

（2）由題意可知50次摸球?qū)嶒灮顒又校霈F(xiàn)有記號的球4次，由此可以求出總球數(shù)，然后利用（1）的結(jié)論即可求出盒中紅球.

此題主要考查了利用頻率估計概率的問題，首先利用模擬實驗得到盒中紅球、黃球各占總球數(shù)的百分比，然后利用百分比即可求出盒中紅球個數(shù).