雙樹復小波和局部投影算法在齒輪故障診斷中的應用

胥永剛，趙國亮，馬朝永，楊紅玉

(北京工業大學機電學院先進制造技術北京市重點實驗室，北京100124)

雙樹復小波和局部投影算法在齒輪故障診斷中的應用

胥永剛，趙國亮，馬朝永，楊紅玉

(北京工業大學機電學院先進制造技術北京市重點實驗室，北京100124)

齒輪故障振動信號往往表現為非線性非平穩特性，并且早期故障振動信號往往包含較強的背景噪聲，不利于故障特征的提取。針對該問題，提出了基于雙樹復小波變換和局部投影算法的齒輪故障診斷方法。首先，對故障信號進行雙樹復小波變換，得到不同尺度下的小波系數和最后一層的尺度系數，并計算各層小波系數的模與相角。然后，選擇模周期性較強的小波系數或尺度系數進行局部投影算法處理，得到周期性增強的系數的模，并選擇合適的閾值進行軟閾值處理。最后，利用處理后的系數進行雙樹復小波重構，從而提取出齒輪故障特征信號，進行希爾伯特包絡解調分析便能準確地得到故障特征頻率。仿真信號和工程應用表明，該方法能夠有效地提取齒輪故障特征信息，提供了一種齒輪故障特征提取的新方法。

故障診斷；雙樹復小波變換；局部投影算法；軟閾值；齒輪

引 言

由于故障產生機理復雜，齒輪故障振動信號往往表現為非線性非平穩特性，并且包含強烈的背景噪聲，對齒輪早期故障的診斷造成了很大困難［1］。因此，對齒輪早期故障診斷方法的研究具有重要的理論價值和實際意義。

雙樹復小波變換作為傳統離散小波變換的改進方法，在克服了平移不變性及頻率混疊等缺陷的同時，還具有完全重構性、較小的數據冗余以及良好的方向選擇性［2］。目前，該方法已經成功應用于圖像處 理［3-4］、語 音識 別［5］、地 震 監測［6］及 故障 診斷［7-9］等領域。

局部投影算法將時間序列擴展到高維相空間，利用相空間投影法，能夠將信號的背景信號、特征信號及噪聲分解到不同子的空間，從而達到將其分離的目的［10］，能夠在分離特征信號的同時有效地抑制噪聲成分，并增強周期性成分。自提出以來，該方法已經在生物醫學電信號［11-12］及故障診斷［13-14］等領域有了成功的應用。

本文提出了雙樹復小波變換與非線性時間序列局部投影算法相結合的齒輪故障診斷方法，并將其成功應用于鋼鐵廠高線軋機齒輪箱的故障診斷。仿真信號和工程實例證明：該方法能夠成功、有效地提取齒輪的早期故障特征信息。

1 雙樹復小波變換

Kingsburg提出的雙樹復小波變換利用互為近似希爾伯特變換對的兩樹實小波濾波器組來進行小波分解與重構，分別稱為實部樹與虛部樹。其小波函數可以表示為如下復數形式

式中 ψh(t)，ψg(t)表示兩個近似互為希爾伯特變換對的實小波。

雙樹復小波變換的兩樹濾波器組在分解和重構過程中并無數據交換，因此，實部樹的小波系數和尺度系數可以通過下式獲得。

同理，虛部樹小波變換的小波系數和尺度系數具有相同的表示形式。

綜合兩樹實小波變換的結果，可以得到雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數如下：

重構為分解的逆過程，重構信號可以表示為：

雙樹復小波變換分解和重構的過程如圖1所示。兩樹濾波器組分別完成實虛部樹的實小波變換與重構。實部樹濾波器組中，h0代表低通濾波器，h1代表高通濾波器；同理，g0與g1分別代表虛部樹的低、高通濾波器，重構過程由相應的重構濾波器完成。

圖1 雙樹復小波變換的分解和重構過程Fig.1 Decomposition and reconstruction process of dual-tree complex wavelet transform

2 非線性時間序列局部投影算法原理

非線性時間序列分析方法的基本思想是：將非線性時間序列進行相空間重構，通過局部投影方法將背景信號，特征信號以及噪聲投影到不同的子空間，同時抑制時間序列中的隨機噪聲成分，從而達到將其分離的效果［10］。

假設動力系統的非線性狀態方程如下

當F未知時，xk+1可以近似為狀態xk在狀態{xk｝，k=1…N中u(n)鄰域內的線性化估計，可以表示為下式的形式

參數An，bn可以通過式(12)解得。不存在噪聲時，Anxn+bn-xn+1=0，系統處于超平面內。當受到噪聲干擾時，即yn=xn+ηn時，對信號進行相空間重構，則噪聲處于超平面外的相空間中。可以通過將yn投影到該超平面來進行信號的消噪。

對于任意時間序列sn，可以重構m維相空間

式中 τ為延時時間，m為嵌入維數。該相空間與原系統具有相同的動力學特性，與原系統的動力學行為是微分同胚的。通過sn的式(12)的最小化解來對sn進行修正。上述投影降噪方法稱為非線性空間局部投影算法。其具體步驟如下：

(1)對于時間序列S=s1，s2，…，sn，確定延時時間τ及嵌入維數m，進行m維相空間重構。

(2)確定鄰域半徑ε，尋找滿足‖sk-sn‖＜ε的向量及其個數N。

(3)計算滿足條件的N個向量的質心

(4)計算協方差矩陣

式中 R為對角權重矩陣，其作用為抑制相點的首尾元素所產生的畸變，故R11和Rmm選取較大值，其他Rii取值為1。

(5)消除噪聲。計算協方差矩陣C(n)ij的特征值與特征向量，選取特征值最小的Q個特征向量aq，q=1，…，Q，按照下式對相空間sn進行修正。

(6)返回步驟(2)，直到所有的相點處理完。

修正完畢后，將sn中的標量信號取平均值即可重構得到降噪后的信號。

參數選擇對算法的降噪效果有直接影響，目前參數的確定方法已經較為成熟。目前確定延遲時間的方法有：自相關函數法、平均位移法、復自相關法及平均互信息法等；嵌入維數可以通過幾何不變量法、虛假臨近點法及改進虛假鄰點法等方法確定，文獻［11］對上述幾種方法進行了比較與總結。

本文中濾波參數的確定選用較為常用的自相關函數法與效果較好的改進虛假鄰點法。鄰域半徑的選擇較為簡單，只需略大于噪聲的平均幅值即可。Q一般為3～5。

3 DT-CWT與局部投影算法相結合的齒輪故障診斷方法

雙樹復小波變換得到的小波系數為復數形式，其模在信號沖擊特征明顯處幅值較大而且變化較為平穩，周期性更為明顯，更加適合非線性時間序列局部投影算法的處理要求，因此選擇對小波系數的模進行局部投影算法處理。具體實施步驟如下：

(1)對齒輪故障信號進行雙樹復小波變換，得到不同層的系數矩陣，計算各層系數模并保留相位信息。

(2)選擇系數模周期性較為明顯的層的系數，選用合適的τ，m及Q值對其模進行單次或多次非線性局部投影算法處理；當系數模的周期性不明顯時可以利用系數譜(即系數模去恒流量后的傅里葉譜)進行周期分析，當系數模存在周期性時其系數譜必定會出現倍頻現象。

(3)選取合適的閾值對周期增強之后的小波系數模進行軟閾值處理，以消除恒流成分對重構結果的影響，然后利用保留的相位信息將處理后的模還原為小波系數，以便重構。

(4)將處理后的小波系數進行單支重構，即可提取出齒輪故障特征信號，再進行希爾伯特包絡解調分析便可準確地得到故障特征頻率。

4 仿真分析

構造齒輪故障仿真信號，序列x(t)由10段衰減正弦信號x1(t)組成，x1(t)定義如下

式中 fn=2 000，ζ=0.1。采樣頻率為10 k，每段100個點，總點數N=1 000。通過向x(t)添加信噪比為-5 dB的高斯白噪聲得到噪聲污染信號y(t)。x(t)與y(t)的時域波形如圖2所示。

圖2 x(t)與y(t)的時域波形Fig.2 Waveform of x(t)and y(t)

圖2可見，與x(t)相比，y(t)中已經不能發現明顯的周期性沖擊成分。將y(t)進行5層雙樹復小波分解，并繪制小波系數的模，如圖3所示。

圖3 雙樹復小波分解各層系數幅值Fig.3 The magnitude of the DT-CWT coefficients

圖3中，d1～d5表示1～5層小波系數幅值，c5為第5層尺度系數幅值，可以看出d2的周期性較為明顯，故選擇對d2進行局部投影算法處理，以增強序列中的周期性成分并抑制隨機噪聲。

利用自相關函數法求取延遲時間，如圖4所示。

圖4 自相關函數法確定延遲時間Fig.4 Choose the time delay using autocorrelation function

根據改進虛假鄰點法確定嵌入維數，如圖5所示。

圖5 改進虛假鄰點法選取嵌入維數Fig.5 Choose the embedding dimension using Cao method

E1，E2為兩個計算指標，其隨嵌入維數的變化曲線如圖5。嵌入維數的選取原則：選取使E1與E2變化平穩且接近的m值即可，本文選擇m=13。

鄰域半徑ε=0.5，R11和Rmm為103，Q=3。采用同樣的參數進行兩次非線性時間序列局部投影算法處理，結果如圖6所示。

圖6 d2局部投影算法降噪結果Fig.6 Denoising result by local projective method

圖6可見，與圖3中d2相比，序列中的噪聲被顯著地降低，周期性成分被成功地提取出來。為了進一步在時域凸顯信號的周期性，進一步對其進行閾值為0.3的軟閾值處理，以消除直流量的影響(約為0.3)。還原為小波系數后，對其進行單支重構，便可得到故障特征信號，如圖7所示，其幅值譜如圖8所示。雙樹復小波變換能夠將信號中的周期性成分提取出來，如圖7(a)所示，但是依然存在較強的噪聲。對雙樹復小波變換小波系數進行局部投影算法降噪后，能夠顯著降低信號中的隨機噪聲，提取出信號中的周期性成分。

圖7 重構信號對比Fig.7 Comparison of direct reconstruction signal and the denoised one by local projective method

圖8 重構信號幅值譜對比Fig.8 The Fourier amplitude spectrum of direct reconstruction signal and the denoised one

圖9 希爾伯特包絡解調譜Fig.9 Hilbert envelope spectrum of the denoised signal

對降噪后的信號進行希爾伯特包絡解調分析，便可以準確得到信號的故障特征頻率，如圖9所示。上述結果表明，雙樹復小波與局部投影算法相結合能夠有效地提取信號中的故障特征頻率。

5 工程應用

某鋼鐵公司高線廠第25架軋機于2007年8月1日發現齒輪箱振動異常，開箱檢查發現Z5/Z6齒輪出現打齒故障，如圖10所示。

圖10 故障齒輪照片Fig.10 Photo of the damaged gear

為了能夠在故障早期發現故障，現對6月30日的齒輪箱振動數據進行分析，采樣點數為2 048，采樣頻率為12 000 Hz。經計算，故障特征頻率為76.172 Hz。該數據的波形及頻譜如圖11所示。時域波形中沒有發現明顯故障特征信息，頻譜中雖出現少數邊頻成分但不明顯，頻率成分較為復雜不能準確識別出故障齒輪的特征頻率。

圖11 6月30日故障齒輪波形及頻譜Fig.11 Waveform and spectrum of data on June 30

對該信號進行5層雙樹復小波變換，得到前5層的小波系數與第5層的尺度系數，并計算其模(如圖12所示)選擇周期性較為明顯的d2應用局部投影算法進行降噪與周期性增強。利用自相關函數法與改進虛假鄰點法確定參數為：延時時間τ=10，嵌入維數m=13。鄰域半徑ε=8，Q=3。結果如圖13所示。

圖12 雙樹復小波變換系數模Fig.12 The magnitude of the DT-CWT coefficients

圖13 局部投影算法降噪Fig.13 Denoising result by local projective method

圖13可見，經過局部投影算法處理后，與處理前相比d2的周期性被顯著增強，隨機噪聲成分被有效地抑制。再對d2進行閾值為6.5的軟閾值處理，還原為小波系數后進行雙樹復小波重構，便得到齒輪故障特性信號，如圖14所示。

圖14(a)為小波系數直接重構信號，(b)為系數降噪后重構所得信號，對比可知，雙樹復小波能夠將信號中的周期性沖擊成分提取出來，但是提取出的信號中依然包含較強的噪聲，不利于故障特征的識別。對小波系數模進行局部投影算法與軟閾值處理后，重構信號中的隨機噪聲被有效地抑制，信號中的周期性沖擊成分已經非常明顯。對降噪后的信號進行希爾伯特包絡解調，便可以得到準確的齒輪故障特征頻率76.17 Hz及其倍頻，結果如圖15所示。

圖16為直接重構信號的希爾伯特包絡解調譜，雖然也存在故障特征頻率76.1 Hz及其3倍頻228.5 Hz，但是存在169.9 Hz的干擾成分，而經過局部投影算法降噪后的信號中該成分已經被去除。

圖14 重構信號對比Fig.14 Comparison of direct reconstruction signal and the one denoised by local projective method

圖15 局部投影算法降噪信號希爾伯特包絡譜Fig.15 Hilbert envelope spectrum of the signal denoised by local projective method before reconstruction

圖16 直接重構信號包絡解調譜Fig.16 Hilbert envelope spectrum of the direct reconstruction signal

綜上，雙樹復小波變換與局部投影算法相結合，能夠有效、準確地將齒輪早期故障信號中的故障特征信息提取出來。

6 結 論

本文研究了基于雙樹復小波與非線性時間序列局部投影算法的齒輪故障診斷方法，仿真分析與工程實踐結果證明了該方法的可行性與有效性。

(1) 雙樹復小波變換的小波系數的模更能準確地反映信號中的周期性沖擊成分。

(2) 非線性時間序列局部投影算法能夠通過將序列擴展到高維相空間的方法，將特征信號與背景噪聲分離。將其用于雙樹復小波系數模的周期性成分增強與降噪，具有顯著效果。

(3) 雙樹復小波與非線性時間序列局部投影算法相結合的方法，能夠從齒輪早期故障信號中準確有效地提取出故障特征信息，為齒輪的早期故障診斷提供了一種新方法。

［1］張超，陳建軍，郭迅.基于EMD能量熵和支持向量機的齒輪故障診斷方法［J］.振動與沖擊，2010，29(10)：216—220，261.Zhang Chao，Cheng Jianjun，Guo Xun.Agear fault diagnosis method based on EMD energy entrgy and SVM［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(10)：216—220，261.

［2］Selesnick I W，Baraniuk R G，Kingsbury N G.The dual-tree complex wavelet transform［J］.IEEE Digital Signal Processing Magazine，2005，22(6)：123—151.

［3］Massimo Fierro，Ho-Gun Ha，Yeong-Ho Ha.Noise reduction based on partial-reference，dual-tree complex wavelet transform shrinkage［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2013，22(5)：1 859—1 872.

［4］Turgay Celik，Tardi Tjahjadi.Image resolution enhancement using dual-tree complex wavelet transform［J］.Geoscience and Remote Sensing Letters，IEEE，2010，7(3)：554—557.

［5］王娜，鄭德忠，劉永紅.雙樹復小波包變換語音增強新算法［J］.傳感技術學報，2009，22(7)：983—987.Wang Na，Zheng Dezhong，Liu Yonghong.New method for speech enhancement based on dual tree complex wavelet packet transform［J］.Journal of Sensors and Actuators，2009，22(7)：983—987.

［6］謝周敏，王恩福，張國宏，等.基于雙樹復小波包變換的地震信號分析方法［J］.地震學報，2004，26(S1)：110—115，175.Xie Zhoumin，Wang Enfu，Zhang Guohong，et al.Seismic signal analysis based on the dual-tree complex wavelet packet transform［J］.Acta Seismologica Sinica，2004，26(S1)：110—115，175.

［7］胥永剛，孟志鵬，陸明，等.雙樹復小波和奇異差分譜在滾動軸承故障診斷中的應用［J］.振動工程學報，2013，26(6)：965—973.Xu Yonggang，Meng Zhipeng，Lu Ming，et al.Application of dual-tree complex wavelet transform and singular value difference spectrumin the rolling bearing fault diagnosis［J］.Journal of Vibration Engineering，2013，26(6)：965—973.

［8］蘇文勝，王奉濤，朱泓，等.雙樹復小波域隱Markov樹模型降噪及在機械故障診斷中的應用［J］.振動與沖擊，2011，30(6)：47—52.Su Wensheng，Wang Fengtao，Zhu Hong，et al.Denoising method based on hidden Markov tree model in dual tree complex wavelet domain and its application in mechanical fault diagnosis［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(6)：47—52.

［9］邱愛中.對偶樹復小波閾值降噪法及在機械故障診斷中的應用［J］.機械傳動，2011，35(9)：58—61.Qiu Aizhong.Anew denoising method of DT-CWT and its application in mechanical fault diagnosis［J］.Journal of Mechanical Transmission，2011，35(9)：58—61.

［10］徐金梧，呂勇，王海峰.局部投影算法及其在非線性時間序列分析中的應用［J］.機械工程學報，2003，39(9)：146—150.Xu Jinwu，Lu Yong，Wang Haifeng.Local projective method and it′s application on nonlinear time siries［J］.Chinese Journal of Mechinal Engineering，2003，39(9)：146—150.

［11］王晨.基于非線性時間序列的胎兒心電信號分析與提取［D］.北京：北京工業大學，2009.Wang Chen.Fetal electrocardiogram analysis and extraction based on nonlinear time series［D］.Beijing：Beijing University of Technology，2009.

［12］任明榮，王晨，方濱，等.基于非線性時間序列的胎兒心電信號提取算法［J］.系統仿真學報，2009，21(16)：5 006—5 008.Ren Mingrong，Wang Chen，Fang Bin，et al.Fetal ECG extraction algorithm based on nonlinear time series［J］.Journal of System Simulation，2009，21(16)：5 006—5 008.

［13］呂勇，徐金梧，李友榮，等.基于局部投影和小波降噪的弱沖擊特征信號的提取［J］.北京科技大學學報，2004，26(3)：319—321.LüYong，Xu Jinwu，Li Yongrong，et al.Weak Feature signals identification method based on local projective and wacelet transform［J］.Journal of University of Science and Technology Beijing，2004，26(3)：319—321.

［14］黃艷林，李友榮，肖涵，等.基于相空間重構與獨立分量分析的局部獨立投影降噪算法［J］.振動與沖擊，2011，30(1)：33—36.Huang Yanlin，Li Yourong，Xiao Han，et al.Local independent projection de-noising algorithm based on phase-space reconstruction technique and independent component analysis［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(1)：33—36.

Application of gear fault diagnosis method based on dual-tree complex wavelet transform and local projective method

XU Yong-gang，ZHAO Guo-liang，MAChao-yong，YANG Hong-yu

(Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)

Asgear fault vibration signal is always nonlinear and nonstationary and always with a strong background noise which result in difficulty of fault feature extraction，a new method based on dual-tree complex wavelet transform and local projective method is proposed.As a improved method of the conventional discrete wavelet transform(DWT)，dual-tree complex wavelet transform has many advantages over DWT，such as the improvement of frequency aliasing and oscillations of wavelet coefficients which is the key to the method proposed.Local projective method for nonlinear time series has a good ability of signal period strengthen and noise suppression，which fits for wavelet coefficients denoising.Firstly，the fault signal is decomposed by dual-tree complex wavelet transform to obtain the coefficients of different layers.Secondly，the nonlinear time series method is used to strengthen the periodicity of the coefficient whose amplitude is more periodic，and then do soft-threshold denoising.Finally，the fault characteristic signal can be obtained by coefficient reconstruction.The fault frequency can be located accurately by Hilbert envelope spectrum analysis.The simulation and engineering application showed the effectiveness of the method in early gear fault diagnose.

fault diagnose；dual-tree complex wavelet transform；local projective method；soft threshold；gear

TH165+.3；TH132.41

A

1004-4523(2015)04-0650-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.019

胥永剛(1975—)，男，副教授。電話：(010)67391750；E-mail：xyg@bjut.edu.cn

2014-04-10；

2014-09-03

國家自然科學基金資助項目(51375020)；北京市教委科研計劃資助項目(KM201310005013)；北京市屬高等學校青年拔尖人才培育計劃資助項目；北京市優秀人才培養資助計劃資助項目(2011D005015000006)；北京工業大學基礎研究基金資助項目