具有伯努利分布丟包網絡控制系統的保性能控制器設計*

王建華

華東交通大學電氣與電子工程學院， 南昌 330013

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具有伯努利分布丟包網絡控制系統的保性能控制器設計*

王建華

華東交通大學電氣與電子工程學院， 南昌 330013

針對一類服從伯努利分布丟包的網絡控制系統，討論了其保性能控制器的設計問題，將網絡控制系統建模為一類具有不確定性參數的離散系統，利用Lyapunov穩定性理論，給出了系統的穩定性條件，結合一個最優二次型性能指標，推導出該類系統保性能控制器的存在性，并將系統保性能控制器設計問題轉換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。最后，通過仿真算例驗證了此控制方法的有效性和可行性。

網絡控制系統；貝努力分布丟包；Lyapunov穩定性；保性能；LMI

通過實時網絡形成閉環的反饋控制系統被稱為網絡控制系統(Networked Control System,NCS)[1-2],它融合了計算機、通信、網絡和控制等技術，具有連線少、信息資源能共享、易于維護和擴展等優點。因此，NCS廣泛地被應用到航天、通訊以及日常工業等領域，其研究也受到越來越多學者的關注，并成為一個研究熱點。NCS各組件之間通過網絡傳輸信息時，不可避免地產生網絡誘導時延與數據丟包而導致系統性能降低，甚至可能會引起系統不穩定。因而要使NCS具有較好的性能，NCS控制器必須對網絡時延與丟包問題進行補償。

目前，網絡控制系統對時延與丟包問題的研究取得了初步成果。文獻[3]基于一定的數據包丟失率和恒定時延,系統被建模為由結構事件率約束的異步動態切換系統。利用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式描述,推導出由數據包丟失率約束的系統指數穩定的充分條件。為了降低對網絡傳輸的要求, 文獻[4]針對具有固定時延和隨機丟包情況的網絡系統, 采用狀態增廣以克服時延對網絡控制系統分析的影響, 進而考慮隨機丟包情況, 將增廣系統轉化為切換系統。文獻[5]針對一類馬爾科夫網絡控制系統，研究了均方指數問題。文獻[6]研究了一類具有網絡誘導時延和數據包丟失的不確定網絡控制系統的魯棒H∞控制問題。文獻[7]提出了一種時延相關狀態反饋控制方法,并將閉環網絡控制系統建模為離散時間切換模型，并通過構造依賴于參數的Lyapunov函數給出了閉環網絡控制系統的穩定條件和鎮定控制器設計方法。

本文針對一類具有不確定性參數的NCS,用一個二值分段函數來描述數據包的丟失情況，且該二值函數的取值服從伯努利分布，將網絡控制系統建模為服從伯努利分布的隨機離散閉環系統。利用Lyapunov穩定性理論，結合一個最優二次型性能指標，推導出該類系統保性能控制器的存在條件，并將系統保性能控制器設計問題轉換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。

1 問題描述

考慮一類含不確定參數的線性離散系統，如下所示

其中，x∈Rn，u∈Rm，y∈Rr分別為狀態、輸入和輸出狀態向量。A,B和C分別為適維的系統輸入、輸出和傳輸矩陣的確定分量。ΔA為系統的不確定參數，且滿足ΔA=DF(t)E，D和E均為適維的常數矩陣，F(t)是滿足FT(t)F(t)≤I的Legesgue 可測矩陣。

網絡控制系統中不可避免地存在時延和丟包。為了分析問題的方便，本文作如下假設：

1)傳感器、控制器和執行器均為時鐘驅動；

2)傳感器-控制器時延τsc,控制器-執行器時延τca,且網絡誘導時延有界，滿足0≤τ(k)=τca(k)+τsc(k)=d=T·N，其中T為傳感器的采樣周期，N為大于1的整數；

3)丟包服從某一確定的概率分布；

4)數據包傳輸過程中無時序錯亂。

典型的網絡控制系統結構如圖(1)所示。

圖1 網絡控制系統結構

假設系統狀態完全可測，考慮式(1)的離散控制模型，令狀態反饋控制器的控制增益為K，狀態反饋可表示為：

由于網絡帶寬有限，進行數據包傳輸時會不可避免地發生丟包。假設控制器采用最新數據，若新的采樣數據可在一個采樣周期內到達控制器，則控制器收到數據后立即計算控制量并輸出至執行器，若在一個采樣周期內控制器未收到數據包，則認為丟包發生，此時控制量u=0。

為了描述數據包丟失，引入二值分段函數：

且服從伯努利概率分布

綜合考慮時延與丟包的影響，將式(2)～(3)代入式(1)，可得閉環控制系統：

針對系統(5),考慮如下性能指標：

其中，Q為對稱正定陣。

令z(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-d)]，則系統(5)可寫為

相應地，性能指標式(6)可寫為

(8)

下面將給出系統(5)在性能指標式(6)下的保性能控制律的設計方法。

2 控制器設計

定義1 對系統(5)和性能指標式(6)，如果對任意的不確定參數矩陣ΔA，存在反饋控制增益K，使閉環系統(5) 穩定，且相應的性能指標J∞≤J0，則稱K為不確定系統(5)的保性能控制增益。

引理1[8]針對任意矩陣W,M,N,F(t)，如果滿足FTF≤I,對于任一標量ε>0, 如下不等式存在:

定理1 給定正定對稱矩陣Q，若存在正定對稱矩陣Xi(i=0,1,2,…,d)和矩陣Y，以及常數ε>0，使矩陣不等式

(10)

式中，

X=diag(X0,X1,X2,…,Xd)。

證明：若式(10) 成立，根據schur補原理，可得

令

P=diag(P0,P1,P2,…,Pd)，

則P=X-1=diag(P0,P1,P2,…,Pd)。

利用引理1，必有

即有

根據schur補原理可知，上式等價于

故

由于系統(7)是系統(5)的等價系統，因此要證明系統(5)穩定只需證明系統(7)穩定即可。現取Lyapunov函數為

沿系統(7)的任意軌線向前作差分必有

E[ΔV(k)]=E[V(k+1)-V(k)]=

E[(Ψ+ΔΨ)z(k)]ΤP(Ψ+ΔΨ)z(k)]-

根據式(18)可知E[ΔV(k)]<0，故系統(7)穩定得證。 即有

根據式(18)可知

根據(21)可知，

(23)

由定義1可知，系統(5)的保性能控制律存在。因此，定理1得證。

3 仿真算例

以如下所示網絡控制下的一個不穩定模型為對象進行仿真研究：

討論性能指標式(6)：

假設系統初始狀態為x(k)=[1.66-1.38]Τ，k≤0。系統存在丟包事件，并服從如下伯努利分布：

相應閉環系統的保性能指標為J0=15.1698。在此保性能控制律的條件下，閉環系統的控制信號曲線和狀態響應曲線分別如圖3和4所示。顯然從圖中可以看出，系統存在服從伯努利分布的丟包時(如圖2所示)，在上述保性能控制器作用下，系統具備良好的穩定性能和控制性能。

圖2 網絡控制系統數據丟包分布

圖3 網絡控制系統狀態響應曲線

圖4 網絡控制系統控制信號曲線

4 結論

針對一類服從貝努力分布丟包的網絡控制系統，將其建模為一類不確定性的離散系統。并通過反饋將其轉換為含有不確定參數的閉環系統，利用Lyapunov穩定性理論，給出了系統的穩定性條件，結合一個最優二次型性能指標，推導出該類系統保性能控制器的存在性，并將系統保性能控制器設計問題轉換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。最后，仿真算例驗證了此控制方法的有效性和可行性。

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Guaranteed Cost Controllers Design for Networked Control System with Data Losses Obeying Bernoulli Distribution

WANG Jianhua

School of Electronical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China

RegardingaclassofnetworkedcontrolsystemwithdatalossesobeyingBernoullidistribution，theproblemofdesigningguaranteedcostcontrollerisresearched.Thenetworkedcontrolsystemsaremodeledasdiscretesystemswithuncertainparameters.BasedonLyapunovstabilitytheory,systemstabilityisdiscussed.Bycombiningwithagivenoptimalquadraticperformanceindex,theexistenceofguaranteedcostcontrollersisdeduced.Moreover，basedonLMItoolbox,thecorrespondingdesignmethodofguaranteedcostcontrollerisproposed.Finally,thesimulationisincludedforexampletodemonstratetheeffectivenessandfeasibilityofthemethod.

Networkedcontrolsystem;DatalossesobeyingBernoullidistribution;StabilitytheoryofLyapunov;Guaranteedcost; LMI

*華東交通大學校立科研基金資助(13DQ04)

2014-07-10

王建華(1980-)，女，山東煙臺人，碩士，講師，主要研究方向為智能建筑控制和網絡化控制。

TJ765.2

A

1006-3242(2015)01-0010-05