小小等號話方程

張懿菁

【摘 要】 一個小小的等號，折射出的是方程中最重要的等價思想。理解這個小小的等號，既了解了方程概念的本質(zhì)，也感悟到了列方程時的建模思想，體會到了解方程中的化歸思想，這才是方程思想的本質(zhì)！這才是方程學(xué)習(xí)的價值！這才是方程教學(xué)的意義！

【關(guān)鍵詞】 等號 方程 建模 化歸

教方程會遇到學(xué)生提出的各種問題，僅僅告訴孩子“這是規(guī)定”肯定是不夠的。怎樣才能向?qū)W生說清楚這些規(guī)則背后的“為什么”？一日，突然頓悟：問題的根源其實很簡單——“=”，一個小小的等號就能說明這一切！

一、等號的含義

等號，可算得上數(shù)學(xué)中最普通的符號了，四則運算、解方程、列方程解決實際問題、等式變形等各類數(shù)學(xué)活動中都離不了它。1557年，數(shù)學(xué)家雷科德（R.Recorde，1510—1558）在他的《智慧的激勵》（The Whetstone of Witte）一書中首先富有創(chuàng)見地用兩條平行且相等的直線段“=”來表示“相等”，叫做“等號”。

等號的含義有兩個方面：一是表示“運算的結(jié)果”，二是表示“等價關(guān)系”。 在四則運算中，“=” 是一種分隔符號，意味著開始運算并得到運算結(jié)果，等號的右邊被認(rèn)為應(yīng)當(dāng)就是答案。也就是說，在四則運算中更多的是用等號來“作某件事的信號”，并顯示一個結(jié)果。學(xué)生在很長的一段時期里所接觸到的等號都是這樣的含義。隨著年級的升高，等號出現(xiàn)在新的學(xué)習(xí)內(nèi)容——“方程”中。從本質(zhì)上說，方程呈現(xiàn)的是兩件事情相互等價的一種形態(tài)，方程中的“=”則表示在等號左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上的一種等價關(guān)系。

或許是因為這個小小的符號實在太普通、太渺小、太常見了，在實際教學(xué)中，我們反而忽視了對它的關(guān)注，忽略了它在方程中含義的轉(zhuǎn)變，弱化了它在方程學(xué)習(xí)中起到的作用，才引發(fā)了學(xué)生在接觸方程初期這一系列的“不適應(yīng)”和“為什么”。事實證明，倘若教師沒能有意識地進(jìn)行滲透，學(xué)生很有可能需要較長的一段思維過渡期來漸漸體會等號含義的新變化，適應(yīng)等號的新用法。

那么 在方程教學(xué)中，如何幫助學(xué)生理解等號的含義？學(xué)生理解“=”的含義究竟能對方程學(xué)習(xí)起到什么樣的積極作用？

二、等號的啟示

1.更清晰地理解方程的概念

史寧中教授曾在“第九屆全國新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)系列研討會8226；北京會場”的報告中提到如何理解方程的定義問題，他說：“雖然教科書中定義為‘含有未知量的等式，但應(yīng)當(dāng)知道方程的本質(zhì)是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數(shù)量相等。”也就是說從這個定義出發(fā)去判斷一個式子是不是方程，意義不大。方程有兩個重要的核心思想：建模和化歸。這才是方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也是方程教學(xué)的重點。至于什么叫方程，什么是一元一次方程等等，在這兩個核心思想面前，就顯得不那么重要了。如果偏離了這個教學(xué)重點，對學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維都是不利的。

上世紀(jì)90年代初，原西南師范大學(xué)的陳重穆和宋乃慶在《淡化形式，注重實質(zhì)》一文中提出了“在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意淡化形式、注重實質(zhì)”的觀點，文中特別談到了方程的概念，其中有兩點很值得我們注意：（1）方程的概念并沒有文字上的定論。文中提及了多個地方對方程概念的敘述，很明顯并不一致。（2）人們對于方程的研討，都是按照方程的實際意義來理解并進(jìn)行處理的，而不是按定義的條文來進(jìn)行處理的。

張奠宙教授也發(fā)表過類似的觀點，他認(rèn)為：“含有末知數(shù)的等式”對方程進(jìn)行定義無非是種形式化的描述而己，沒有實質(zhì)性的意義。

我們可以清楚地得出結(jié)論：在方程的概念教學(xué)中，最重要的是體會等號的含義，體會方程的等價關(guān)系。在沒有實際意義的前提下，討論“諸如x=0，2x÷5=5……1這樣的特殊形式是不是方程”完全沒有價值?！昂形粗獢?shù)的等式就是方程”的這種說法，掩蓋了方程的模型思想，雖然在形式上符合，但本質(zhì)上并不是真正意義上的方程。

2.在列方程中體會建模思想

史寧中教授在關(guān)于方程思想的訪談中說過：“用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)立，等號的左右兩邊等價，至于其中的關(guān)系是用自然語言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號表達(dá)的，都不太重要，重要的是等號左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價的。這就是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)之一?！?/p>

表面上看，方程的建立似乎就是把兩個等值的代數(shù)式用等號連接起來，但究其實質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)列方程的第一步就是根據(jù)等號所體現(xiàn)的等價含義，從現(xiàn)實情景中找到相互等價的兩個量，即我們常說的找到等量關(guān)系。這也是最關(guān)鍵的一步。在實際解題時，只有首先在心中建立起這個等號，形成一種等價意識，才能有目的地從現(xiàn)實情景中找到相互等價的兩個量，然后概括為等價的自然語言，最后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，用數(shù)學(xué)符號建立方程，解決問題。這正是建模的過程，也是方程思想的精髓之一。如果沒有第一步建立等價意識，那么后面的列方程也就無從談起，這正是建模思想的源頭所在。

3.在解方程中體會化歸思想

解方程的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，將新出現(xiàn)的方程問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的方程問題，回歸到已知的算法，這正是化歸思想。方程的化歸將未知轉(zhuǎn)化成已知，其實質(zhì)則是運算的優(yōu)化。遵循最佳途徑進(jìn)行運算可以訓(xùn)練學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化的思維方式，這對于他們思維習(xí)慣的影響是很有裨益的。這就是方程教育價值所在。

學(xué)生在透徹理解解方程的過程后，就自然理解了解方程過程中的各種規(guī)定，也就不會因為受到四則運算的思維習(xí)慣的干擾而出現(xiàn)這么多的“格式錯誤”了。

一個小小的等號，折射出的是方程中最重要的等價思想。理解這個小小的等號，既了解了方程概念的本質(zhì)，也感悟到了列方程時的建模思想，體會到了解方程中的化歸思想，這才是方程思想的本質(zhì)！這才是方程學(xué)習(xí)的價值！這才是方程教學(xué)的意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.

[2]史寧中，孔凡哲.方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計[J].課程·教材·教法，2004，（9）.

[3]瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室.建模與化歸：方程教學(xué)的重中之重[J].湖南教育（數(shù)學(xué)教師），2008，（06）.

[4]魯曉琴.談方程模型思想的滲透[J].甘肅科技縱橫，2007，（02）.

[5]陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1993，（3）.