基于敏感傳遞函數的分數階PIλ 控制器的參數整定

（天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222）

（天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222）

討論一種基于敏感傳遞函數的分數階PIλ控制器的參數整定方法.根據敏感傳遞函數的定義，采用代數方法，對固定的PIλ控制器的積分階次，在比例增益和積分增益參數平面上，按敏感傳遞函數的界進行PIλ控制器的參數整定.該敏感傳遞函數的界與系統的幅值裕度和相角裕度直接相關，給出了系統相對穩定性的信息.仿真實例表明，利用該方法設計的PIλ控制器具有良好的動態性能和魯棒性.

分數階PIλ控制器；敏感傳遞函數；參數整定

分數階控制系統的相關研究近年來受到廣泛的關注［1-2］，特別是分數階PID控制器的研究［3-5］具有明顯的工程實際意義.眾所周知，常規（整數階）PID控制器在工業過程控制領域獲得了廣泛應用.采用分數階PID控制器，由于增加了設計的自由度，可以取得比整數階PID更好的動態性能和對參數變化的魯棒性.幅值裕度和相角裕度作為相對穩定性的度量，在經典控制理論中已進行了大量的討論.相角裕度與時域動態性能（超調量）直接相關，而幅值裕度則反映系統對參數變化的魯棒性.

本文討論基于敏感傳遞函數的分數階PIλ控制器的參數整定方法.該敏感傳遞函數的界給出了幅值裕度和相角裕度的信息.通過一種代數方法求解PIλ控制器的參數，并用仿真實例進行驗證.

1 敏感傳遞函數

考慮圖 1所示SISO單位反饋系統，其中 G（s）為被控對象，C （s）為控制器，R （s）為參考輸入，Y（s）為輸出，E （s）為跟蹤誤差.敏感傳遞函數 S（s）定義為

它代表系統對參考輸入信號的跟蹤精度.考慮頻率特性 （j）Sω的最大值

其物理意義是，開環 Nyquist曲線到系統臨界穩定點（-1，j0）的最短距離的倒數，典型取值范圍為（1，2）［6］.進一步，文獻［7］將式（2）的極大化問題轉換為在整個頻率范圍內對敏感傳遞函數進行約束

圖1 單位反饋系統Fig. 1 Unity feedback system

式中 1M＞ .根據這一條件，當M→∞時，式（3）成為閉環特征方程

事實上，式（3）的敏感傳遞函數不等式約束與系統的幅值裕度和相角裕度直接相關［7］：

式中 1K≥ 為系統的開環增益.因此，式（3）不等式是對系統魯棒性的一種比幅值裕度和相角裕度更強的度量，因為它不只是在 2個穿越頻率（相角穿越頻率和幅值穿越頻率）處對敏感傳遞函數進行界定，而是在所有頻率處對其進行約束.

2 控制器參數整定

設圖1中被控對象的傳遞函數為?

式中：D （s）和 N（s）為整數階或分數階多項式；L ≥0為時滯因子.控制器為如下分數階PIλ形式

式中：pk和ik分別為比例增益和積分增益；0 2λ＜ ＜為積分階次.為設計方便，對式（8）的控制器進行如下變換

代入式（10），有

由式（3）可得

定義函數

.再由式（11），f1（ω）可寫為

其中

式（13）定義了一個極值問題，當在某一頻率下，等號成立時，1（）fω達到極小值.由極值條件可得

其中

聯立求解方程組

消去2x后，得到

其中

將式（15）代入式（13）中的 f1（ω）= 0，整理得關于參數y的6次方程

其中

可按如下方法求解參數對（x，y）：在適當選取的頻率ω下，解關于y的6次方程（16），得出6個解，分別代入式（15），得相應的x.然后，根據參數變換公式kp= x，ki= xy解得參數對 （kp，ki）.所需要的解應該是落在參數穩定域（令M→∞可得）內的實數解.對適當選取的頻率范圍，參數對（kp（ω） ，ki（ω））在穩定域內描繪出一條滿足敏感傳遞函數界 M＞1的曲線.

3 仿真實例

考慮單容水箱傳遞函數［9］

在圖 1所示控制系統中，采用式（8）給定的分數階PIλ控制器，文獻［8］討論了PIλ控制器分數階次λ與（kp，ki）平面上參數穩定域的面積大小之間的關系，結論是λ越小，穩定域面積越大.選取 λ= 0.2，根據前兩節的討論，選取足夠大的M值，可得（kp，ki）平面上的參數穩定域，如圖2中的虛線所示.再分別取 M=8和 M= 1.46，落在穩定域內的實數解描繪出的曲線分別如圖 2中兩條實線所示.根據式（5）和式（6），M = 1.46對應的相角裕度約為 40°，幅值裕度約為11，dB.沿 M= 1.46的曲線取點A（見圖3），再在曲線內部取點 B，分別作階躍響應，如圖 4所示.由于B點對應的相角裕度大，相應的階躍響應的超調小.另外，由于控制器的積分階次較小（ λ= 0.2），階躍響應存在一定的穩態誤差，可以采用其他方法進行補償.

圖2 不同M對應的敏感約束Fig. 2 Sensitivity constraint for different M

圖3 M=1.46對應的敏感約束Fig. 3 Sensitivity constraint for M=1.46

圖4 A、B 兩點對應的階躍響應Fig. 4 Step responses corresponding to A and B

4 結 語

本文給出了一種分數階PIλ控制器的圖解參數整定方法，即基于敏感傳遞函數界的參數整定方法.該方法的特點是控制器的參數選擇靈活，所設計的控制器能同時滿足相角裕度和幅值裕度的要求，可以直接應用于過程控制領域.

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基于敏感傳遞函數的分數階PIλ控制器的參數整定

楊征穎，王德進，史萬祺

Parameter Tuning of Fractional-order PIλControllers Based on Sensitivity Constraint

YANG Zhengying，WANG Dejin，SHI Wanqi
（College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China）

This paper discusses the parameter tuning method of fractional-order PIλcontrollers based on sensitivity transfer function constraint.According to the definition of sensitivity transfer function，in the plane of proportional-integral gains of PIλcontroller，for fixed integral-order，the parameters of the controller are tuned by plotting the sensitivity bound obtained via an algebraic derivation. The bound of sensitivity transfer function is directly related to the gain-margin and the phase-margin of the system，which gives the information on the relative stability of the system. Simulation examplesprove that the designed PIλcontroller can achieve better dynamic performances and robustness.

fractional-order PIλcontrollers；sensitivity transfer functions；parameter tuning

TP273 文獻標志碼：A 文章編號：1672-6510（2015）02-0057-03

10.13364/j.issn.1672-6510.20140106

2014-07-11；

2014-09-17

國家自然科學基金資助項目（60874028）

楊征穎（1988—），女，河北廊坊人，碩士研究生；通信作者：王德進，教授，wdejin56@sina.com.

常濤