基于OELM 重構極限狀態函數的可靠度計算方法

賴雄鳴，張 勇，王 成，言 蘭，緱 錦

（1.華僑大學 機電及自動化學院，福建 廈門361021；2.華僑大學 計算機科學與技術學院，福建 廈門361021）

在工程可靠性問題中，極限狀態函數往往不解析、非線性.每一次極限狀態函數評估需要通過有限元方法進行大規模數值求解［1］.在可靠性問題的求解中，循環計算極限狀態函數需要更大規模的計算量，有時往往難以接受.

常規可靠性計算方法可以分為2類［2］.1）基于Monte Carlo抽樣的計算方法及改進算法（如重要抽樣法［3］、子集抽樣法［4］、線抽樣法［5］等）.該類方法計算簡單，適用性強，精度高，但是由于計算過程中樣本的選取具有隨機性，需要大規模重復計算極限狀態函數，總體效率較低，難以接受.2）基于梯度的計算方法［6］.該方法以計算MPP 點為中心，如國際安全度聯合委員會（JCSS）推薦使用的JC 法.該方法存在迂回振蕩、甚至不收斂的情況發生.Lee等［7-12］提出各種改進迭代方法，確保收斂性，從而克服了JC法的缺點.雖然上述改進算法對于非線性極限狀態函數有較強的適應性（即較快收斂到MPP點），但是本質上屬于一次二階矩法，仍然是在MPP點附近以一次超平面代替非線性極限狀態曲面，存在計算誤差大，甚至錯誤的情況發生.盡管二次二階矩法較一次二階矩法，精度有所提高，但是當極限狀態函數的非線性較強時，與第一類方法相比，誤差較大.

對于極限狀態函數的非線性、不解析，且需要大量數值計算等特征，第一類方法計算效率低，第二類方法計算精度不足.針對該問題，本文提出基于極限學習機高效循環重構極限狀態函數的可靠度計算方法.該方法首先確定可靠度的重要影響區域，然后在該區域內按照一定的策略，有目的性地選擇計算樣本，進行高效循環重構極限狀態函數，以期最大限度地減少極限狀態函數計算次數.最后，在該重構的近似極限狀態函數模型的基礎上利用重要抽樣方法，快速進行模擬計算可靠度，最終實現較少次數的計算極限狀態函數，能夠獲得高精度可靠度計算結果.

1 基于優化的極限學習機（OELM）

對于給定N 個不同的訓練數據集｛xi，yi｜i＝1，…，N｝，其中xi＝［xi1，xi2，…，xin］∈Rn，yi∈RL.具有L 個隱節點，激活函數為K（xi）的標準單隱層前饋網絡（SLFN）可以零誤差地逼近任意的N個樣本，表示為［13］

式 中：aj為 輸 入 權 值，bj為 隱 層 節 點 的 閾 值，xi為 輸入向量，Oi為輸出向量，βj 為輸出權值.激活函數K可以取sigmoid、rbf、hardlim［14］.這里取常用的rbf.

式（1）可以簡寫為

式中：β＝［β1，β2，…，βL］T，Y＝［y1，y2，…，yN］T；H 為隱層輸出矩陣，

ELM 學習算法的優化目標是同時最小化訓練誤差和輸出權重的范數，由此可得

為了提高模型的泛化能力，Huang等［13］通過基于優化的方法統一了ELM 和SVM，并提出改進OELM，即

常數C 可以取較大的數，這里取1012.最后輸出函數為

2 基于OELM 高效重構極限狀態函數的可靠度計算方法

該方法的主要求解思路如下：1）快速確定對可靠度影響的重要區域位置；2）劃定重要區域范圍；3）在該重要區域內，有目的性的選擇計算樣本，并高效循環重構高階極限狀態函數；4）基于重構極限狀態函數，進行重要抽樣模擬計算；5）重復步驟2）和3），直到判斷計算收斂為止.

2.1 可靠度影響重要區域位置快速確定

對于包含任意隨機變量的可靠性問題，總可以通過Rosenblatt變換［15］將非正態變量變換為標準正態隨機變量.假定極限狀態函數中的隨機變量均服從標準正態分布.為了快速確定可靠度影響的重要區域，提出基于梯度步長的搜索算法，具體步驟如下.

1）設置標準正態空間內前進步長L＝0.2～1.5.

2）從標準正態空間的原點開始，沿著原點位置處極限狀態函數的負梯度方向（▽G（0））前進L 距離到達新的點P1.若判斷P1點處于失效區域，則停止；否則，執行步驟3）.

3）沿著P1點處極限狀態函數的負梯度方向前進L 距離到達Pi點.若Pi點處于失效區域，則停止.否則重復執行步驟3），直到新點處于失效域.

4）假設前進m 次，最后的位置點為Pm，以該點表示可靠度影響重要區域的大致位置.

結合文獻［11］的算例來說明這一方法.如圖1所示，結構功能函數為

式中：P＝1；x1、x2為相互獨立的標準正態分布隨機變量.圖1中，箭頭方向表示該極限狀態函數曲線簇G（x1，x2）＝C 在不同位置的梯度方向.可以看出，該極限狀態函數簇的非線性很強，梯度從左到右變化很大.此處取步長L＝0.5.圖1中，前進了7次，走到失效區域中的P7點.該位置點可以表示可靠度影響重要區域的大致位置.

圖1 可靠度影響重要區域位置確定快速方法Fig.1 Fast method for determining position of important area for reliability

由于只要大致確定可靠度影響的重要區域位置，P7點的位置不必很精確，N 可以取更小，即通過前進增加步長，減少前進到失效區域中所需的次數，進而減少極限狀態函數的計算次數.在后文實例中將給出進一步說明.

對于極限狀態函數不解析的情形，可以采用差分方法，近似獲得其梯度，如下式所示：

式中：σ（xi）為標準正態隨機變量xi的標準差，為1.通常系數k越小，梯度近似越準確，本文k取0.001.

2.2 可靠度影響重要區域劃定

以二維隨機變量情形進行介紹.圖2中，Pm為2.1 節方法中所求得的點.假設點Pm的坐標為（xp1，xp2），可以獲得點Pm附近的其他點M1～M4，坐標分別為（xp1-k′σx1，xp2）、（xp1，xp2-k′σx2）、（xp1＋k′σx1，xp2）、（xp1，xp2＋k′σx2）.這里系數k′可取0.5.分別建立原點與點Pm、M1～M5的直線l0～l5.通過插值法可以求得上述直線與極限狀態函數的交點Q0～Q4，即為極限狀態曲面重要區域上的失效點.以求Q1點為例，給出快速插值求解算法.

圖2 二維隨機變量情形下獲取極限狀態曲面重要區域上的初始失效點Fig.2 Obtaining initial failure points on limit state function for two dimensional case

1）令t＝0對應直線l1上的原點，t＝1 對應直線l1上的點M1.

2）令T＝［0，1］，Y＝［G（x＝0），G（x＝xM1）］，則通過分段三次埃爾米特插值法可以得到G＝0時，對應的tnew.

3）由此獲得tnew對應直線l1上的點xnew＝0＋tnew（xM1-0）.

4）評估xnew位置處的極限狀態函數值G（x＝xnew）.若｜G（x＝xnew）｜＜ε1（取10-3），則停止計算；否則令T＝［T（2），tnew］，Y＝［Y（2），G（x＝xnew）］，通過分段三次埃爾米特插值法獲得tnew，然后重復步驟3）.

在獲取到上述極限狀態曲面重要區域上的初始失效點后，將失效點Q0～Q4以及點Pm、M1～M4組合在一起，可得坐標點集X 及對應的初始極限狀態函數響應集Y.基于OELM，建立X→Y 的映射，可以構建初始極限狀態函數，設為.利用式（9），可得對應的初始MPP點.

圖3 可靠度影響重要區域劃定Fig.3 Outlining important area for reliability

2.3 基于OELM 循環重構重要區域內極限狀態函數

式中：xwj為重要區域內（x）曲面上已經找到的點（見圖4中的點W1，W2，…，Wd）.式（5）表示在重要區域內的（x）曲面上尋找最稀疏區域的位置點.

在求解式（10）的過程中，采用常規優化算法或智能集群算法不一定總找到全局最優解，難免陷入局部解.建議在給定初始解x0時，分別令x0＝xwj（j＝1，…，d），由此可得不同的局部解，然后選擇最距離最大（即式（10）中計算的Distance值最大）的局部解作為該型樣本點.于是，可以取得相對較好的結果.

圖4 可靠度影響重要區域Ⅱ型點的尋找Fig.4 Searching Ⅱ-type point in important area for reliability

1）首先在點W1，W2，…，Wd群中，挑選出最外圍的點組成集合X′.屬于X′中的每個點具有如下特性，存在沿著某一維的坐標中，其坐標值是W1，W2，…，Wd中的最大或最小值.如圖4所示的二維情形，W1和Wd為點W1，W2，…，Wd群中的最外圍點.

2）分別選取集合X′的每個點作為初值x0，然后按照式（11）尋找距離原點更遠的點，最后選取最遠的點作為Ⅲ型樣本點.如圖5所示，x0分別選取W1和Wd作為初始點，然后代入求解式（11），可以求得各自對應的最外圍點，分別是P1和P2.進一步地，由于OP1＞OP2，選擇點P1作為Ⅲ型樣本點.

圖5 可靠度影響重要區域Ⅲ型點x的尋找Fig.5 Searching Ⅲ-type point in important area for reliability

2.3.4 重要區域內極限狀態函數重構 在重構限狀態曲面的基礎上，將上述尋找到的I～Ⅲ型樣本點作為新的樣本點，計算對應的真實極限狀態響應，并加入坐標點集X 和極限狀態函數響應集Y.然后基于OELM 方法重構X→Y 的映射，可以獲得重要區域內逼近精度更高的極限狀態函數.重復上述過程，隨著重構次數i的增加，可以最大限度地提高重要區域內的極限狀態函數逼近精度.

3 計算實例

本文的計算方法特別適用于極限狀態函數為非線性、不解析，且需要花費大規模數值求解的情形.下面的計算實例中，其極限狀態函數均為已知的情形，以便比較本方法計算值和理論值的差別，從而驗證該方法的有效性.在應用本文方法計算下面的實例時，其極限狀態函數當作未知來處理（如采用差分方式計算梯度）.通過與不同計算方法作比較，驗證本文提出的方法只要較少次數計算極限狀態函數就可獲得高精度的計算結果.

實例一：某結構指數形式的極限狀態函數［10-11，15］為

式中：x1～N（0，1），x2～N（0，1）；參數P＝1.

該極限狀態函數的非線性強，采用JC 法計算不收斂.表1 中，周凌等［10-11，16］分別通過14、10、17次迭代，找到MPP點，并計算可靠性指標為2.999 5.對于這類非線性問題，計算可靠性指標無太大意義，因為由該可靠性指標計算的失效概率為0.001 35，而表2中蒙特卡洛法的計算結果為0.002 984，兩者相差很大.

表1 實例一可靠度計算結果比較Tab.1 Comparison of computed results in example 1

表2 實例一不同計算方法效率評估Tab.2 Comparison of computational efficiency between different methods in example 1

對于復雜非線性問題，在計算MPP 和可靠性指標時，迭代次數有時過多，計算量過大，而計算誤差也大.因此，沒有必要消耗太多計算量計算MPP和可靠性指標.按照本文方法，通過少量迭代次數，快速確定重要區域的大致位置.如圖6所示，取步長L＝1，經過4次迭代可以快速確定重要區域的大致位置在P4點.然后按照2.2、2.3節介紹的方法，如圖7所示為經過21次重構，可以獲得可靠度計算結果，收斂值為0.003 0.

表2中除了采用本文方法和蒙特卡洛法外，還采用重要抽樣方法計算該實例.該重要抽樣方法采

圖6 實例一可靠度重要影響區域快速確定Fig.6 Fast method for determining position of important area for reliability in example 1

圖7 實例一極限狀態函數不同重構次數對應的可靠度計算結果Fig.7 Reliability results corresponding to different number of reconstruction of limit state function in example 1

用表一中的MPP點作為抽樣中心，分別按照1 000次和10 000次抽樣規模計算，結果示于表2.表中，n1為計算P3時極限狀態函數計算次數，n2為計算M1～M4、Q0～Q5時極限狀態函數計算次數，n3為極限狀態函數重構時極限狀態函數計算次數，n4為極限狀態函數總計算次數.可以看出，本文的計算方法相當高效，第21次重構后，共進行85次極限狀態函數計算即可獲得精確的計算結果.

實例二：已知極限狀態函數［11］為

式中：x1～N（10，5），x2～N（9.9，5）.

該極限狀態函數的非線性較強，采用JC 法計算不收斂.表3 中，楊杰等［11］通過5 次迭代，得到MPP點，對應的可靠性指標為2.298 3，失效概率為0.010 8.表4中，蒙特卡洛法的計算結果為0.005 875，兩者相差很大.本文步長取1，如圖8所示，經過3次迭代得到P3點.在此基礎上，如圖9所示，經過14次重構后，可以獲得可靠度計算結果，收斂值為0.005 7.

表4中的重要抽樣方法以楊杰等［11］計算的MPP點為抽樣中心，分別進行1 000和10 000次抽樣計算.通過比較3種方法的計算結果，可以驗證本文方法計算高效，計算結果準確.

表3 實例二計算結果比較Tab.3 Comparison of computed results in example 2

表4 不同計算方法效率評估Tab.4 Comparison of computational efficiency between different methods in example 1

圖8 實例二可靠度重要影響區域快速確定Fig.8 Fast method for determining position of important area for reliability in example 2

圖9 實例二極限狀態函數不同重構次數對應的可靠度計算結果Fig.9 Reliability results corresponding to different number of reconstruction of limit state function in example 2

4 結 語

針對工程可靠性計算中，極限狀態函數不解析、非線性、計算量大的問題，本文提出高效、高精度的可靠度計算方法.該方法首先基于梯度步長搜索算法快速確定可靠度影響重要區域，然后按照一定策略有目的性地選擇計算樣本，基于OELM 方法高效重構極限狀態函數.在此基礎上，利用重要抽樣方法，快速進行模擬可靠度計算.采用該方法可以有效地減少極限狀態函數計算次數，同時可以獲得高精度可靠度的計算結果，對實際工程的可靠性計算具有重要意義.

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