微小管徑圓管氣-液Taylor流動(dòng)數(shù)值模擬

張井志，李 蔚

（浙江大學(xué) 能源工程學(xué)系，浙江 杭州，310027）

隨著制造業(yè)的進(jìn)步以及便攜式計(jì)算機(jī)的發(fā)展，流動(dòng)換熱部件逐步趨于微小化.微通道具有較高換熱效率以及方便組合安裝的特性，在工業(yè)界有著重要應(yīng)用，如微反應(yīng)器、微熱管、微熱沉等.無相變微通道流動(dòng)滿足一定的比例條件后，可達(dá)到穩(wěn)定的周期性流動(dòng)形態(tài)，廣泛應(yīng)用于化工行業(yè)，如微液滴、微反應(yīng)器.

對(duì)Taylor流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究，主要集中在流型、液膜厚度、壓降損失等分析.Triplett等［1-2］研究了微通道（管徑d＜4mm）內(nèi)的流型，指出微小管內(nèi)流型與常規(guī)通道的流型分區(qū)經(jīng)驗(yàn)公式以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果有著較大不同.Liu等［3］利用實(shí)驗(yàn)研究圓截面以及方截面豎直圓管內(nèi)的Taylor流動(dòng)，結(jié)果表明氣泡上升速度與工質(zhì)物性及通道水力直徑關(guān)系很小.Kreutzer等［4］測(cè)定了Taylor流動(dòng)的壓降，指出當(dāng)入口雷諾數(shù)（Re）遠(yuǎn)大于1 時(shí)，壓降主要與毛細(xì)數(shù)（Ca）與Re之比有關(guān)，并提出了針對(duì)微通道Taylor流動(dòng)的壓降公式.Han等［5］利用激光位移計(jì)測(cè)定了液膜厚度，指出液膜厚度（δ）主要依賴與Ca、Re.

隨著計(jì)算機(jī)硬件及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，數(shù)值模擬逐漸成為研究Taylor流動(dòng)的重要手段.Qian等［6］研究了具有T 型混合入口的微通道內(nèi)Taylor流動(dòng)，氣泡與液柱長度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好.Gupta等［7］研究了管徑0.5mm 微通道內(nèi)Taylor流動(dòng)，指出在液膜區(qū)域至少需要布置5個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)才能獲得液膜厚度.Shao等［8］研究了入口混合結(jié)構(gòu)對(duì)Taylor流動(dòng)的影響，結(jié)果表明，氣泡大小隨噴嘴直徑及壁厚增大而增大.相對(duì)前述的固定計(jì)算域，移動(dòng)計(jì)算域所需網(wǎng)格數(shù)目較少，可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，同時(shí)由于氣泡不會(huì)流出計(jì)算域，氣泡的體積分?jǐn)?shù)（φb）需要正確指定.Talimi等［9］利用單相移動(dòng)計(jì)算域方法，研究了方形通道的流動(dòng)換熱情況.Kreutzer等［10］研究了Taylor流動(dòng)的壓降情況，提出了一個(gè)精度較高的壓降公式.Taha等［11-14］均采用相對(duì)參考系的方法研究了豎直上升通道內(nèi)的Taylor流動(dòng)，計(jì)算域的參考系依附于Taylor氣泡.Asadolahi等［15-16］利用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)追蹤單個(gè)Taylor氣泡，分析了充分發(fā)展?fàn)顟B(tài)Taylor流動(dòng)換熱和壓降特性.

雖然對(duì)于微通道內(nèi)Taylor流動(dòng)已有大量的實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果，但充分發(fā)展Taylor流動(dòng)的流動(dòng)特性分析仍不夠.本文主要利用動(dòng)網(wǎng)格移動(dòng)計(jì)算域方法，研究不同管徑（d＝0.5、1、2 mm）在入口Re＝100～500，φb＝0.2～0.4下充分發(fā)展?fàn)顟B(tài)Taylor流動(dòng)的流動(dòng)特性.與現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證數(shù)值結(jié)果的可靠性，并修正了低Ca下無量綱液膜厚度的預(yù)測(cè)公式.

1 數(shù)值計(jì)算模型

氣液兩相的氣液界面采用Fluent 6.3.26內(nèi)附有的VOF 模型進(jìn)行捕捉，VOF 模型假設(shè)氣液兩相無法互相滲透，在連續(xù)性、動(dòng)量、能量方程的基礎(chǔ)上，求解體積分?jǐn)?shù)方程，獲得計(jì)算域內(nèi)的氣液分布.與其他兩相模型（如Level-Set，Phase Field）相比，VOF具有較好的質(zhì)量守恒特性及較高的界面精度.

1.1 數(shù)學(xué)模型

整個(gè)計(jì)算區(qū)域流體控制方程如下.連續(xù)性方程：

動(dòng)量方程：

體積分?jǐn)?shù)方程：

式中：

其中：ρ為混合相密度，v為速度矢量，p 為壓力，μ 為混合相黏性系數(shù)，g 為重力加速度，F(xiàn) 為體積力，φ為體積分?jǐn)?shù)，下標(biāo)l，g分別表示液相和氣相.

采用Brackbill［17］提出的連續(xù)表面張力（continuum surface force，CSF）模型考慮表面張力的作用.氣液界面通過Young［18］提出的幾何重構(gòu)方法（geometry reconstruction scheme，GRS）捕捉.其中F 的定義為

式中：σ為表面張力，κ 為氣液界面的曲率.

1.2 幾何模型及移動(dòng)計(jì)算域算法簡介

本文采用二維軸對(duì)稱模型分析圓管內(nèi)Taylor流動(dòng)，計(jì)算域如圖1所示，長度為10d.入口采用速度入口邊界條件，出口采用壓力出口邊界條件，壁面設(shè)為無滑移的壁面，對(duì)稱軸采用軸邊界.

圖1 計(jì)算模型圖Fig.1 Computational model

將全場(chǎng)的初始軸向速度設(shè)定為圓管管內(nèi)充分發(fā)展的軸向速度值，徑向速度設(shè)為0.第2個(gè)時(shí)間步以后，利用用戶自定義函數(shù)將出口的速度分量賦予入口相應(yīng)表面.由于并未將出口附近的速度分量梯度賦予入口，本文模擬只能得到近似周期性充分發(fā)展的Taylor流動(dòng).計(jì)算最初，將Taylor氣泡設(shè)為圓柱形，放置在計(jì)算域的中心，圓柱體積為φb 與計(jì)算域體積的乘積.計(jì)算結(jié)果表明，最終穩(wěn)定的氣泡形狀與初始的氣泡形狀無關(guān).采用動(dòng)網(wǎng)格模型，將整個(gè)計(jì)算域網(wǎng)格的移動(dòng)速度設(shè)為氣泡的移動(dòng)速度Vb.當(dāng)Vb不隨計(jì)算迭代而變化時(shí)，認(rèn)為計(jì)算結(jié)果收斂，得到最終的流場(chǎng)及氣液分界面.

式中：vx為軸向速度，r為徑向坐標(biāo)，R 為圓管半徑，x 為軸向坐標(biāo)，Lc為計(jì)算域長度（10d）.

1.3 網(wǎng)格劃分及無關(guān)性驗(yàn)證

計(jì)算域采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行劃分，近壁面附近，采用邊界層網(wǎng)格進(jìn)行加密處理，用于捕捉壁面與Taylor氣泡之間的液膜，其余部分為長寬比接近1的長方形，網(wǎng)格的樣式見圖1.如圖2所示為網(wǎng)格的無關(guān)性進(jìn)行驗(yàn)證.由圖2可知，3種網(wǎng)格數(shù)目計(jì)算的Taylor氣泡形狀基本一致，其中采用網(wǎng)格數(shù)目為86×1 326（徑向數(shù)目×軸向數(shù)目）時(shí)，Taylor氣泡長度要稍大于后面二者.網(wǎng)格數(shù)目為95×1 540與120×2 000的氣泡形狀基本一致，考慮本文采用變時(shí)間步長，時(shí)間步長與網(wǎng)格數(shù)目呈反比關(guān)系，本文最終模擬采用的網(wǎng)格數(shù)目為95×1 540.

圖2 3種網(wǎng)格尺寸下的Taylor氣泡形狀Fig.2 Shapes of Taylor bubble obtained from three meshes

2 模擬結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

為研究Taylor流動(dòng)的氣泡速度、液膜厚度、壓降變化規(guī)律，本文的模擬主要分析在φb＝0.4 時(shí)，d＝0.5、1、2 mm，入口Re＝100～500 情況下，和Re＝500，d＝0.5、1、2mm，φb＝0.2～0.4情況下，Taylor流動(dòng)的特性.

2.1 氣泡形狀、流線及速度矢量

如圖3 所示為不同Re和φb 下，d＝0.5 mm，Taylor氣泡及周圍流體的流線與速度矢量圖，其中流線與速度矢量均以Taylor氣泡為參考系得到.由圖3可得，Taylor氣泡主要由球形的氣泡頭部、尾部及近似圓柱形氣柱構(gòu)成.由于氣泡移動(dòng)速度高于液體，氣泡與壁面之間形成一層薄液膜，此部分流體相對(duì)氣泡的移動(dòng)速度為負(fù)值，即液膜相對(duì)氣泡向下運(yùn)動(dòng).在氣泡內(nèi)部和外部區(qū)域均有一定回流區(qū)，氣泡的頭部和尾部區(qū)域也有一定較小范圍的回流區(qū).隨著Re增大，氣泡長度有很小的變化，氣泡尾部不穩(wěn)定區(qū)域增大，出現(xiàn)波動(dòng)，液膜厚度也會(huì)有一定的變化.氣泡的長度和內(nèi)部回流區(qū)隨著φb 增大而增大，而整個(gè)氣泡的形狀基本不變化，液膜厚度和尾部波動(dòng)區(qū)域一致.如圖3所示，氣泡與壁面之間存在一層薄液膜，影響壁面與流體的傳熱傳質(zhì)過程.由于氣泡頭部為球形，液膜厚度沿著與流向相反的方向先逐漸增大，后基本維持穩(wěn)定，在氣泡尾端會(huì)有一定的下降與上升，產(chǎn)生波谷與波峰，以穩(wěn)定的液膜處的厚度作為Taylor流動(dòng)的液膜厚度.

圖3 當(dāng)d＝0.5 mm 時(shí)，Taylor氣泡形狀，流線及速度矢量圖Fig.3 Shapes，steam lines，and velocity vectors of Taylor bubbles in a tube（d＝0.5mm）under different conditions

2.2 Taylor氣泡移動(dòng)速度

氣泡上升速度（Vb）高于兩相表觀速度（Vtp），采用無量綱氣泡速度Vb／Vtp進(jìn)行分析.Liu等［3］對(duì)豎直上升圓管內(nèi)的Taylor流動(dòng)進(jìn)行研究，擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，認(rèn) 為Vb／Vtp與Ca 有 關(guān)，并 提 出 了Vb／Vtp的表達(dá)式.

如圖4所示為式（9）預(yù)測(cè)值與Liu等［3］實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Asadolahi等［16］及本文模擬結(jié)果的對(duì)比.由圖4可得，本文模擬的結(jié)果與式（9）和文獻(xiàn)數(shù)據(jù)吻合較好.如圖5所示為計(jì)算結(jié)果與公式值的相對(duì)誤差，其中Vb1／Vtp1代表公式（9）預(yù)測(cè)值，Vb2／Vtp2代表模擬值與實(shí)驗(yàn)值.由圖5可得本文模擬結(jié)果與式（9）的預(yù)測(cè)值之間的誤差在±4%以內(nèi).對(duì)于整個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（Ca＝0.000 4～0.020 0），式（9）可以預(yù)測(cè)基本所有工況在±10%誤差以內(nèi).

圖4 Vb／Vtp隨Ca的變化規(guī)律Fig.4 Vb／Vtpas funcion of Ca

2.3 液膜厚度

與Vb／Vtp類似，采用無量綱液膜厚度（δ／R）分析Taylor流動(dòng)液膜厚度的影響因素.對(duì)于δ 的測(cè)定，除了采用高精度的光學(xué)儀器，還可以通過式（10）求得.

將式（9）代入式（10）得

圖5 本文模擬與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和式（9）的對(duì)比Fig.5 Comparison of data obtained from simulation and references with Eq.9

由式（11）可 以 看 出，δ／R 基 本 與Ca 正 相 關(guān).Aussillous等［19］對(duì)Taylor的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提出了式（12）計(jì)算δ／R，并指出對(duì)于某些情況，式（12）會(huì)過低或者過高估計(jì)δ／R.

如圖6 所示為本文模擬、Asadolahi等［16］數(shù)值模擬和Aussillous等［19］實(shí)驗(yàn)結(jié)果.由圖6 可得出式（11）高估了δ／R，式（12）低估了δ／R.本文采用二者的平均值來預(yù)測(cè)δ／R.

由圖6可得，式（13）較好地預(yù)測(cè)δ／R 隨Ca的變化趨勢(shì).如圖7所示為數(shù)值計(jì)算結(jié)果與公式預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差.其中δ1／R1代表式（11）至（13）預(yù)測(cè)值，δ2／R2代表模擬與實(shí)驗(yàn)值.由圖7 可得，式（13）可以較好地預(yù)測(cè)3組數(shù)據(jù)，誤差在±15%以內(nèi).由于本文模擬以及文獻(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)處于Ca＜0.1條件下，式（13）是式（12）在低Ca下的修正.

圖6 模擬和文獻(xiàn)δ／R 隨Ca的變化規(guī)律Fig.6 δ／Ras function of Ca

圖7 模擬與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式的對(duì)比Fig.7 Comparison between data obtained from simulation and references with equations

2.4 壓降特性

Taylor流動(dòng)壓降主要由液柱壓降與氣泡壓降組成.如圖8、9所示為阻力因子f 隨Re 與φb 的變化規(guī)律.由圖8可得，f 隨著Re 增大而降低，降低趨勢(shì)逐漸減小.在Re＜500下，f（d＝1）＞f（d＝0.5）＞f（d＝2），當(dāng)Re＝500時(shí)，f（d＝0.5）＞f（d＝1）＞f（d＝2），管徑對(duì)于阻力系數(shù)有一定的影響.由圖9可得，f 隨著φb 增大而降低，基本呈現(xiàn)線性變化的規(guī)律.Taylor氣泡的長度隨著φb的增大而增大，氣泡的存在降低了管道整體的阻力系數(shù).

圖8 f 隨Re 的變化規(guī)律Fig.8 fas a function of Re

圖9 f 隨φb的變化規(guī)律Fig.9 fas a function ofφb

對(duì)于Taylor流動(dòng)的兩相壓降的預(yù)測(cè)公式主要有2種：一種是依賴于流型，適用于可以精確測(cè)得液柱長度的情況，另一種是采用Lockhart等［20］提出的兩相分離模型（式14～16），使用起來比較簡單.

式中：C 為Chisholm 系數(shù)，X 為Martinelli系數(shù)，Φ2l為兩相阻力乘積系數(shù)，dp／dx為沿軸向單位長度壓降.

Kreutzer等［10］利用數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)，分析了慣性力和表面張力對(duì)Taylor流動(dòng)的影響，認(rèn)為fslugRe主要與d／Lslug（Re／Ca）0.33有關(guān)，預(yù)測(cè)公式如下：

式中：fslug為液柱區(qū)域的阻力因子，fslug＝Δp×d／（2βlρVt2p） ；Δp 為進(jìn)出口 壓降；βl 為計(jì)算域 內(nèi)液體 含量，Re＝Vtpdρl／μ，Lslug為液柱長度.

Lit等［21-22］對(duì)文獻(xiàn)中微通道內(nèi)的絕熱壓降實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，修正了Chisholm系數(shù)，使得分離模型更好地適應(yīng)微通道絕熱壓降，如式（18）和（19）所示.

式中：Bo為邦德數(shù)（Bo＝g（ρl-ρg）d2／σ），Rel為為液相時(shí)的雷諾數(shù)（Rel＝（Vlρl＋Vgρg）d／μ），Sug為氣相的拉普拉斯數(shù)（Sug＝ρgσd／μ2g）.

圖10 fslugRe隨d／Lslug（Re／Ca）0.33的變化規(guī)律Fig.10 fslugRe as a function of d／Lslug（Re／Ca）0.33

圖11 模擬結(jié)果與3組公式的對(duì)比Fig.11 Comparison between simulation data with three equations

如圖10所示為本文與Kreutzer［10］模擬得到所得fslugRe隨d／Lslug（Re／Ca）0.33的變化規(guī)律.由圖10可得，式（17）較好地預(yù)測(cè)本文及Kreutzer［10］的數(shù)值結(jié)果，由于Taylor氣泡的影響，fslugRe高于單相的情況，并且僅與無量綱的液柱長度及工質(zhì)物性相關(guān)，與流速?zèng)]有明顯的關(guān)系.如圖11所示為3種壓降預(yù)測(cè)公式對(duì)本文模擬結(jié)果的預(yù)測(cè)情況.由圖11可知3種模型均可以較好地預(yù)測(cè)本文的模擬結(jié)果，其中Kreutzer［10］的流型依賴模型的精度較好，在所有（dp／dx）f范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)模擬結(jié)果與預(yù)測(cè)值的誤差在±30%以內(nèi).在（dp／dx）f＜2范圍內(nèi)，Li［21-22］的公式均過高的估計(jì)了模擬結(jié)果，誤差在＋50%及＋70%以內(nèi).在2＜（dp／dx）f＜140范圍內(nèi)，Li［21-22］的公式均可以預(yù)測(cè)本文模擬結(jié)果，誤差在±30%以內(nèi)，具有較好的精度.雖然Kreutzer［10］的公式可以更加精確的預(yù)測(cè)本文的模擬結(jié)果，但在工程應(yīng)用中，液柱的長度很難測(cè)量，液柱長度的不僅與氣液的表觀速度有關(guān)，還依賴與進(jìn)口的形式，文獻(xiàn)中沒有一個(gè)對(duì)所有情況均適用的液柱長度公式，對(duì)其使用有一定的限制.而Li［21-22］的修正分離模型，各參數(shù)均由入口條件和工質(zhì)物性參數(shù)決定，使用更簡單，本文的模擬結(jié)果也證實(shí)了這2個(gè)公式具有較高的精度.

3 結(jié) 論

通過對(duì)微小通道（d＝0.5、1.2 mm）內(nèi)的圓管Taylor流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值研究，分析了Taylor氣泡形狀、氣泡上升速度、液膜厚度和壓降特性，得到如下結(jié)論：

（1）隨著Re 增大，氣泡尾部的不穩(wěn)定區(qū)域增大，出現(xiàn)波動(dòng)，液膜厚度有一定變化.氣泡長度和內(nèi)部回流區(qū)隨著φb 增大而增大，整個(gè)氣泡的形狀液膜厚度和尾部波動(dòng)區(qū)域基本不變化.

（2）Vb／Vtp與Ca0.33有關(guān)，與通道直徑無關(guān)，式9（適用范圍Ca＝0.000 4～0.020）可較好地預(yù)測(cè)本文的模擬結(jié)果，誤差在±4%以內(nèi).

（3）無量綱液膜厚度（δ／R）與Ca正相關(guān)，在低Ca（Ca＜0.01）下，式（12）低估了δ／R，修正后的式（13）可以預(yù)測(cè)本文模擬和文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，誤差在±15%以內(nèi).

（4）計(jì)算域阻力因子f 隨著Re、φb 增大而降低.fslugRe 主 要與d／Lslug（Re／Ca）0.33相關(guān).Kreutzer［10］的流型依賴模型和Li［21-22］的修正分離模型均可以較好地預(yù)測(cè)本文的模擬結(jié)果，而后兩者使用起來更為簡單.

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