淺談函數(shù)的對稱性

山東省廣饒縣第一中學(xué) 徐 梅

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決.

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a,b)對稱的充要條件是 f(x)+f(2a－x)=2b

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P(x,y)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，

∵點(diǎn)P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A (a,b)的對稱點(diǎn)P '（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，

∴2b－y=f(2a－x).

即y+f(2a－x)=2b 故f (x)+f (2a－x)=2b，必要性得證.

（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b，

∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，

山東省廣饒縣第一中學(xué) 徐 梅

即2b－y0=f(2a－x0).

故點(diǎn)P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)圖像上，而點(diǎn)P 與點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)A (a，b)對稱，充分性得征.

推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對稱的充要條件是f(x)+f(-x)=0

定理2.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a 對稱的充要條件是f(a +x)=f(a－x)，

即f(x)=f (2a－x)（證明留給讀者）

定理3.①若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A (a,c)和點(diǎn)B (b,c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個(gè)周期.②若函數(shù)y=f(x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a 和直線x=b 成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個(gè)周期.③若函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a，c) 成中心對稱又關(guān)于直線x=b 成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個(gè)周期.

以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a,c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x 代x 得：

f (2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c……（*）

又∵函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于直線x=b成軸對稱，

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]……（**），

用2（a－b）+x 代x 得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代 入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x]，

故y=f (x)是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個(gè)周期.

二、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例：定義在R 上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f(5－x)=f(5+x),則f (x)一定是（ ）

這需要單位把長期投資方案的現(xiàn)金進(jìn)行流出，然后把相關(guān)建設(shè)投資各年所獲得的現(xiàn)金流入，該方法主要是利用相同時(shí)點(diǎn)的數(shù)值來進(jìn)行表示，最后則需要進(jìn)行對比分析。對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析的目的是為了能夠了解到方案的經(jīng)濟(jì)性，從而把各方案的投資利益都?xì)w納到客觀的基礎(chǔ)上。

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f(10+x)為偶函數(shù)，

∴f(10+x)=f (10－x).

∴f(x)有兩條對稱軸x=5 與x=10，

因此f (x)是以10 為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，

∴x=0 即y 軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù).

故選(A).