關于函數對稱性的探究

朱啟東

（云南省會澤縣茚旺高級中學）

充分理解應用函數的對稱性，無論在教師教學上還是在學生處理問題上都有較強的輔助作用。

一、函數關于點的對稱性

函數關于點的對稱性主要是單個函數自身關于點對稱和函數之間關于點對稱。函數自身關于點對稱主要定理為：若有函數y=f（x）的函數圖像是關于點A（a，b）對稱的，則f（x）+f（2a-x）=2b是其充分必要條件。其必要性可如下證明：點B（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，因為B（x，y）關于點A（a，b）的對稱點B′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，所以有2b-y=f（2a-x）.即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證。同樣可以利用設點帶入的方法證明其充分性。函數間關于點對稱主要定理有：函數y=f（x）與y=2bf（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱。函數間關于點對稱的函數表達形式同函數自身關于點對稱相似，區別在于相對稱的兩點在不同函數上。

二、函數關于直線的對稱性

同函數關于點對稱相同，函數關于直線對稱也分為函數自身關于直線對稱和函數間關于直線對稱。函數自身關于直線對稱定理主要為：若函數y=f（x）的函數圖像關于直線x=a 對稱，f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）是其充分必要條件。同樣可以使用設任意點B（x，y）帶入函數驗證的方法分別證明充分性和必要性。函數間關于直線對稱的定理主要有：函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a 成軸對稱；函數y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a 成軸對稱；函數y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱。定理的證明仍以設任意點帶入函數驗證的方式證明。

三、函數對稱性的應用

在教學上可以利用函數的對稱性進行函數教學，例如，在畫函數圖像進行分析函數時，可以利用函數的對稱性進行畫圖；講解函數奇偶性的時候可以利用函數關于直線對稱的特殊形式（a=0）；反函數關于直線y=x 對稱等。學生解題上可以利用函數的對稱性，比如函數極大值、極小值的求解上，若函數關于直線對稱，就可求一邊極值點，再對稱寫出另一極值點。

王斌.函數對稱性的探究［J］.考試周刊，2014（23）.