寬帶寬測繪帶SAS非線性線頻調(diào)變標算法

田振，唐勁松，鐘何平，張森

(海軍工程大學海軍水聲技術(shù)研究所，湖北武漢430033)

合成孔徑聲吶［1-2］(synthetic aperture sonar，SAS)是一種新型體制的水下成像聲吶，因其同時具有較高的距離分辨力和方位分辨力，在軍事、民用以及海洋研究領(lǐng)域得到了重要應用。由于高頻聲信號在水下衰減較快，為提高探測距離，不可避免地需要采用低頻聲信號。SAS的工作頻率一般為幾十至幾百千赫茲，要實現(xiàn)距離向的高分辨成像則需要提高信號帶寬［3-4］。由于SAS系統(tǒng)的帶寬載頻比不斷降低，現(xiàn)有以窄帶近似為基礎(chǔ)的大多數(shù)成像算法不再適用［5］。另外，提高測繪帶寬以提高測繪速率也是目前SAS成像算法亟需解決的問題之一。因此，設計實現(xiàn)能夠滿足寬帶寬測繪帶成像需求的SAS成像算法具有十分重要的意義。

線頻調(diào)變標(chirp-scaling，CS)算法［6］不需要耗時的插值運算且具有相位保真度高的優(yōu)點，一直被廣泛應用于各種場景的 SAS/SAR成像［7-12］。為此，Nieves［13］和 Potsis［14］分析了 CS 算法應用于寬帶 SAS成像的可行性。文獻［15］認為可以通過適當改進非線性CS(nonlinear CS，NCS)算法實現(xiàn)超寬帶SAR成像。文獻［16］指出適用于大斜視SAR成像的NCS算法往往也適用于具有大帶寬發(fā)射信號的SAS成像，并提出了一種適用于寬帶SAS成像的改進NCS算法。由于該算法在推導由三次和四次相位濾波及NCS操作引入的相關(guān)變量時，沒有考慮距離頻率高階項中等效調(diào)頻斜率隨時延差量的二階變化特性，導致測繪帶邊緣模糊，降低了有效測繪帶寬。

針對這個問題，本文在文獻［16］中改進的NCS算法的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對算法進行改進，特別是在推導由三次和四次相位濾波及NCS操作引入的相關(guān)變量時，充分考慮距離頻率高階項中等效調(diào)頻斜率隨時延差量的二階變化特性，有效解決了改進的NCS算法中測繪帶邊緣點的散焦問題，大大增加了有效測繪帶寬。本文最后進行了仿真分析，并與傳統(tǒng)的NCS算法和改進的NCS算法的成像結(jié)果進行了對比。

1 信號模型

在SAS系統(tǒng)中，目標的回波是在距離向和方位向擴散開來的，可以將SAS回波信號的接收看作從目標空間到信號空間的映射，而成像過程則是從信號空間到圖像空間的映射。假定SAS發(fā)射和接收信號的過程中，滿足停走停近似。SAS通常發(fā)射線性調(diào)頻信號，為方便計算，本文取成像區(qū)域內(nèi)固定點目標 (r，0)進行分析。在t時刻，假定聲基陣坐標為 (0，vt)，v表示SAS平臺航速。此時，點目標響應的斜距歷程可以表示為經(jīng)過調(diào)制解調(diào)，點目標回波響應可以表示為

式中:A0為常數(shù)，ωr(·)由發(fā)射信號復包絡形狀決定，ωa(·)由聲基陣的指向性函數(shù)決定，τ為距離向快變時間，μ為信號的調(diào)頻斜率，f0為信號載頻，c為水下聲速。

2 擴展的NCS算法推導

NCS算法通常在二維頻域或者距離多普勒域進行，忽略幅值對成像的影響，將R(t;r)的表達式代入式(1)，并通過二維傅立葉變換(Fourier transform，F(xiàn)T)將信號轉(zhuǎn)換到二維頻域，可得點目標響應二維譜為

式中:Wr(·)表示距離向的信號包絡，Wa(·)表示方位向的信號包絡，fr表示距離向瞬時頻率，fa表示方位向瞬時頻率。不妨令

對fr進行泰勒級數(shù)展開，可得

其中前四階系數(shù)項為

2.1 二維譜高階項補償

分析式(3)可以發(fā)現(xiàn)，寬帶成像和窄帶成像的區(qū)別在于式(4)泰勒級數(shù)展開時保留的階數(shù)。窄帶成像時，fr?f0成立，忽略高階項是允許的;寬帶成像時，fr?f0不再成立，高階項帶來的相位誤差較大，因而不能忽略。對于寬帶成像，可以通過與一個參考距離rref處的相位因子相乘近似補償高階項引入的相位誤差，該相位因子表達式為

2.2 三次和四次相位濾波

傳統(tǒng)的 NCS 算法［8］在對 φ(fr，fa;r)進行泰勒級數(shù)展開時僅考慮fr的三階項，由于本文考慮fr的四階項，故需要引入三次和四次相位濾波函數(shù):

式中:Y(fa)和Zm(fa)為待求量。三次和四次相位濾波之后，點目標響應二維譜相位變化為

這里近似認為在成像區(qū)域內(nèi)φ4(fa;r)是距離空不變的，并用φ4(fa;rref)替代。注意，傳統(tǒng)NCS算法并沒有考慮四階項，且認為φ3(fa;r)是距離空不變的，而本文則充分考慮φ3(fa;r)的距離空變性。此時，將回波響應通過距離向逆FT(inverse FT，IFT)回到距離多普勒域，其距離多普勒譜相位為

式中:τ0=2r/c表示不同距離處的時延，ks(fa;τ0)=1/[ μ-1－ksrc]表示信號的等效調(diào)頻斜率，A(fa)=

2.3 NCS操作

與傳統(tǒng)的NCS算法不同，改進的NCS算法考慮了等效調(diào)頻斜率隨時延差量的一階線性變化和二階非線性變化特性，即

其中，Δk1(fa;τref)和 Δk2(fa;τref)為ks(fa;τ0)在參考距離處隨時延差量的一階和二階變化率，其表達式由ks(fa;τ0)的泰勒展開系數(shù)確定，即

式中:Δksrc(fa)=(D-3－D-1)/f0，τref=2rref/c表示參考距離處的時延。

NCS操作在距離多普勒域進行，主要校正不同距離處的距離徙動差量，使不同距離處的信號具有一致的距離徙動量，操作函數(shù)為

式中:q2、q3和q4分別是q2(fa;τref)、q3(fa;τref)和q4(fa;τref)的簡寫形式，為待求參量。將回波信號與式(12)相乘完成NCS操作，然后通過距離向FT將回波響應變換到二維頻域，可得

注意，這里在進行距離向FT時，仍然假設駐定相位點與τ的三次以上項無關(guān)。為簡化公式，不妨將Y(fa)、和Δksrc(fa)簡寫為Y、Z、Δτ、ks、ksr、A和 Δksrc。考慮到Aτ0=AΔτ+Aτref，經(jīng)過整理，式(14)中各相位項可以分別表示為

式(15)為方位壓縮項以及三次和四次相位濾波及NCS操作引入的剩余相位項，該項可以在方位向IFT前通過相位相乘予以補償。

式(16)對應于點目標距離向坐標和距離向走動項，因此需要保留關(guān)于Δτ的常數(shù)項和一次項。將式(9)代入式(16)并展開成Δτ的函數(shù)，且保留至Δτ的三階項。令展開式中Δτ的二次項及三次項系數(shù)為0，這樣就消除了距離向走動的空變現(xiàn)象。需要注意的是，這里充分考慮式(9)中Δτ的二階項，而文獻［16］僅部分考慮了Δτ的二階項，這會導致一定的誤差。

式(17)對應于二次距離壓縮項，僅需保留常數(shù)項即可。將式(9)代入式(17)并展開成Δτ的函數(shù)，僅保留至Δτ的二階。令展開式中Δτ的一次項及二次項系數(shù)為0，這樣就消除了二次距離壓縮的線性和二階非線性變化項。同樣的，文獻［16］仍部分考慮了Δτ的二階項，從而引起一定的誤差。

式(18)對應于fr的三階耦合項，因此保留常數(shù)項即可。將式(9)代入式(18)并展開成Δτ的函數(shù)，僅保留至Δτ的一階。因此，令展開式中Δτ的一次項系數(shù)為0即可消除三階耦合量的空變特性。

式(19)為四次相位濾波及NCS操作引入的剩余相位項。這里近似認為φ4(fa;τ0)是距離空不變的，即φ4(fa;τ0)≈φ4(fa;τref)。該項通常在二維頻域通過相位相乘進行補償。聯(lián)立式(16)～(18)可以解得待定系數(shù)q2、q3、q4、Y、Z的表達式分別為

2.4 距離壓縮、SRC與RCMC

NCS操作后，點目標響應二維譜相位變化為

NCS算法一般在二維頻域通過相位相乘完成距離壓縮、二次距離壓縮(secondary range compression，SRC)與距離徙動校正(range cell migration correction，RCMC)處理，其參考因子為

2.5 方位壓縮、方位走動校正與剩余相位補償

方位壓縮、方位走動校正與剩余相位補償一般在距離多普勒域進行。距離向壓縮及RCMC以后，通過距離向IFT進入距離多普勒域，方位壓縮、方位走動校正與剩余相位補償因子為

最后，通過方位向IFT回到距離時域、方位時域，算法推導結(jié)束，流程圖如圖1所示。

圖1 本文算法流程圖Fig.1 Block diagram of the proposed algorithm

3 測繪帶寬的影響因素分析

上述擴展的NCS算法推導過程中主要的近似處理有2項:第1項是泰勒級數(shù)展開近似至四階，四階以上高階項用參考距離處的補償因子予以補償;第2項是僅考慮等效調(diào)頻斜率隨Δτ的一階線性和二階非線性變化特性，忽略其高階特性。由于這兩項操作會帶來一定的相位誤差，若要使得該部分相位誤差低于π/8，測繪帶寬必然會受到一定影響，下面分別進行具體分析。

3.1 泰勒級數(shù)展開近似對測繪帶寬的影響

對φ(fr，fa;r)進行泰勒級數(shù)展開并保留低階項的前提條件是要求下式成立:

該式表明帶寬載頻比越小、方位波束越窄，成像結(jié)果越精確。對于寬帶系統(tǒng)而言，fr?f0不再成立，僅保留與fr相關(guān)的低階項會導致泰勒級數(shù)近似的近似性變差，因此寬帶條件下需要保留更高階次項以減小泰勒近似帶來的相位誤差。該文對φ(fr，fa;r)進行泰勒級數(shù)展開并保留至四階，并用參考距離處的高階相位項補償四階以上項高階相位，以便降低寬帶條件下泰勒近似帶來的相位誤差。該操作引入的相位誤差可以表示為

用ΔRswath表示測繪帶寬度，即有

圖2繪制了ΔRswath隨Br和f0的變化規(guī)律，仿真過程中取d=0.08 m，c=1 500 m/s。其中，圖2(a)繪制了ΔRswath隨Br和f0的二維變化情況，圖2(b)～(d)繪制了3種不同信號帶寬情況下，ΔRswath隨f0的變化情況。單獨看圖2(b)～(d)可以發(fā)現(xiàn)，當Br固定時，ΔRswath隨著f0的增大而增大。縱向比較圖2(b)～(d)可以發(fā)現(xiàn)，f0不變時，ΔRswath隨著Br的增大而急劇減小。也就是說，ΔRswath與Br/f0成反比。這恰好說明了窄帶條件下泰勒級數(shù)展開并保留低階項對測繪帶寬影響不大，寬帶條件下應用泰勒級數(shù)展開近似時必須保留更高階項，以防止測繪帶寬的急劇下降。

圖2 ΔRswath隨Br及f0的變化規(guī)律Fig.2 ΔRswathvarying with Brand f0

3.2 等效調(diào)頻斜率近似對測繪帶寬的影響

由式(9)可知，等效調(diào)頻斜率被近似至時延差量的二階項，該近似引起的誤差可以表示為

令式(34)等式右側(cè)為 Δφ'2，若 Δφ'2＜π/8，那么必然成立，此時測繪帶寬取值范圍為

圖3繪制了傳統(tǒng)NCS算法［8］和本文的擴展NCS算法的等效調(diào)頻斜率近似導致的ΔRswath隨Br及f0的變化關(guān)系，仿真過程中取d=0.08 m，c=1 500 m/s，Tr=20 ms，其中Tr表示信號脈寬。另外，信號調(diào)頻斜率可以通過公式Kr=Br/Tr求得。其中，圖3(a)繪制了傳統(tǒng)NCS算法中等效調(diào)頻斜率近似導致的ΔRswath隨信號載頻f0及帶寬Br的變化關(guān)系，圖3(b)繪制了本文擴展NCS算法中等效調(diào)頻斜率近似導致的ΔRswath隨信號載頻f0及帶寬Br的變化關(guān)系。觀測圖3可以發(fā)現(xiàn)，隨著帶寬頻率比的不斷提高，有效測繪帶寬急劇下降，這表明適應于窄帶條件的有效測繪帶寬并不一定適應于寬帶條件。

圖3 不同算法中ΔRswath隨Br及f0的變化規(guī)律Fig.3 ΔRswafthvarying with Brand f0in different algorithms

當中心頻率為100 kHz時，表1繪制了不同帶寬時的有效測繪帶寬。從表1可以發(fā)現(xiàn)，當帶寬分別為20、40、60 kHz時，傳統(tǒng)NCS算法的有效測繪帶寬分別為421.70、149.10、81.15 m，而本文擴展的 NCS 算法可以分別達到 763.1、302.8、176.4 m。對比之后可以發(fā)現(xiàn)，無論是窄帶條件還是寬帶條件，本文擴展的NCS算法均具有比傳統(tǒng)的NCS算法更寬的有效測繪帶寬。

表1 不同Br時的有效測繪帶寬Table 1 Mapping swath in different Br m

3.3 分析與討論

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)以下2點結(jié)論:1)窄帶條件下，泰勒級數(shù)展開近似并保留二階項對有效測繪帶寬幾乎沒有影響，但在寬帶條件下，必須保留更高階項以避免有效測繪帶寬的急劇下降;2)等效調(diào)頻斜率通常通過泰勒級數(shù)展開成時延或距離差量的函數(shù)，保留的階數(shù)越高，對有效測繪帶寬的影響越小。本文擴展的NCS算法正是在此基礎(chǔ)上提出的，從而與傳統(tǒng)NCS算法相比具有更好的寬測繪帶適應性。另外，上述2種近似均對測繪帶寬有影響，在實際應用時需要綜合考慮。

4 仿真試驗

為了驗證擴展的NCS算法的有效性，本節(jié)分別利用傳統(tǒng)的 NCS算法［8］、改進的 NCS算法［16］以及本文算法對成像場景參考點(100 m，0 m)及邊緣點(60 m，0 m)處的點目標仿真數(shù)據(jù)進行處理，仿真參數(shù)如表2所示。假設成像場景的測繪帶中心與SAS航線之間的垂直距離為100 m。為考察不同成像算法的成像指標，仿真過程中，距離向和方位向處理均不進行任何加權(quán)，且以測繪帶中心位置為參考距離。需要注意的是，此時的帶寬載頻比達到66.67%，能夠滿足SAS成像的寬帶條件。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters

圖4(a)～(c)分別繪制了利用傳統(tǒng)NCS算法、改進的NCS算法和本文算法對參考點(100 m，0 m)處點目標數(shù)據(jù)進行處理得到的結(jié)果，其中橫坐標表示距離向，縱坐標表示方位向。對比發(fā)現(xiàn)，3種算法均能實現(xiàn)參考點(100 m，0 m)處點目標的良好聚焦。

圖4 參考點(100 m，0 m)處點目標成像結(jié)果Fig.4 Imaging result of the reference point target located at(100 m，0 m)

圖5繪制了3種算法對邊緣點(60 m，0 m)處點目標數(shù)據(jù)進行處理得到的結(jié)果。隨著測繪帶寬的增大，傳統(tǒng)NCS算法和改進的NCS算法均出現(xiàn)較為明顯的散焦現(xiàn)象，分別如圖5(a)和5(b)所示。前者散焦的原因在于僅考慮fr二階項的距離空變性，且認為三階及三階以上項是距離空不變的。另外，也與該算法中等效調(diào)頻斜率近似時僅考慮時延差量的一階項有關(guān)。后者散焦的原因在于其推導由三次和四次相位濾波以及NCS操作引入的相關(guān)變量時，僅部分考慮了等效調(diào)頻斜率隨時延差量的二階項。由于本文算法并不存在這些近似，故而獲得了較好的成像效果，如圖5(c)所示。縱向比較圖4(c)和5(c)可以發(fā)現(xiàn)，測繪帶寬的增加對本文所提算法的成像質(zhì)量影響不大。評價SAS成像算法優(yōu)劣的指標通常包含兩方面:3 dB脈沖響應寬度(impulse response width，IRW)和峰值旁瓣比(peak sidelobe ratio，PSLR)。表3對3種成像算法在方位向的脈壓效果進行了對比，從結(jié)果可以看出本文算法在處理寬帶寬測繪帶數(shù)據(jù)時具有一定的優(yōu)越性。

圖5 邊緣點(60 m，0 m)處點目標成像結(jié)果Fig.5 Imaging result of the edge point target located at(60 m，0 m)

表3 3種算法方位向脈壓效果對比Table 3 Comparison of the azimuth compression effect processed by three different algorithms

5 結(jié)束語

針對寬帶寬測繪帶SAS成像的需求，本文繼續(xù)改進NCS算法，通過保留距離向頻率的四階項，使得改進算法滿足寬帶需求，通過充分考慮等效調(diào)頻斜率的一階線性及二次非線性變化特性使得改進算法滿足寬測繪帶需求。由于本文在推導由三次和四次相位濾波及NCS操作引入的相關(guān)參量時，充分考慮了等效調(diào)頻斜率隨時延差量的二階非線性變化，不僅有效提高了成像質(zhì)量，而且大大提高了寬帶條件下SAS成像的寬測繪帶需求。遺憾的是，由于收發(fā)合置SAS系統(tǒng)的實測數(shù)據(jù)并不多見，因此本文沒能進行實測數(shù)據(jù)成像試驗。

由于水下聲速較低，傳統(tǒng)的收發(fā)合置SAS不能同時兼顧高的方位向分辨率和高的測繪速率，多子陣技術(shù)的提出有效的解決了這一問題。如何將本文所提算法應用于寬帶寬測繪帶多子陣SAS成像是下一步研究的主要內(nèi)容。

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