壁面湍流質量注入減阻效應的數值研究

趙勇，王天霖，宗智，高云

(1.大連海事大學交通運輸裝備與海洋工程學院，遼寧大連116026;2.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240;3.大連理工大學運載工程與力學學部船舶工程學院，遼寧大連116024;4.西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川成都610500)

通過對湍流邊界層的質量注入，可以實現對邊界層流動控制，進而減少邊界層的摩擦阻力，在化工管道、船舶及機翼表面都有廣泛應用［1，2］，因此對該現象的研究具有重要的工程意義。由于外界流體的注入，邊界層的厚度增加明顯，外界流體與原有流體互相作用，使得邊界層內的流動比較復雜，要對其作出準確的數值模擬并不容易［3］，可供參考文獻較為少見。目前，對邊界層質量注入的研究多數是通過試驗的手段［4］，詳細情況可參見該篇文獻及其引用文獻。本文以一多孔平板邊界層為例，在平板下側垂直注入空氣，與上側平行來流的空氣相互作用，對該模型采用雷諾平均方法做數值模擬，獲得了一些流動參數，與相同條件下的無質量注入的情況進行了對比，有利于增加對該流動現象的認識。在本文數值計算中，采用最近發展且獲得廣泛成功應用的 Wilcox(2006)k-ω 湍流模式［5］，與試驗數據比較［6］，獲得了較為準確的數值解。

1 控制方程

本文采用雷諾平均方程計算二維定常不可壓流動方程，選用Wilcoxk-ω模式計算渦粘系數，流動控制方程如下:

式中:U、V分別是流向和法向的平均速度分量，ρ、P分別是流體的密度和壓力，ν、νT是流體的運動粘性系數和渦粘系數。對未知量渦粘系數的模擬，是RANS方法的核心問題，本文選用k-ω模式。k-ω模式先后由Kolmogorov和 Saffman［7］提出，Wilcox對此做了許多改進版本［8-10］，目前最新版被稱為 Wilcoxk-ω 模式［5］，已有許多成功應用。下面簡要列舉其主要公式，詳細介紹可參見參考文獻［5］。該模式中，渦粘系數可表述為

其中，k、ω分別是湍動能和比耗散率，需要對其計算，對應的模式方程分別是:

模式方程(4)～(6)中的系數取值如下:

輔助函數為

對多孔介質情況系的邊界條件有:

其中，Vw為平板下側垂直來流速度。同時，壁面處的湍流量邊界條件為

其中，d為最靠近壁面的網格離壁面的距離。

2 數值算例

2.1 流動參數及計算方法

本文數值計算中，多孔平板長度為L=3 m，平板上側平行來流的空氣速度U∞=9.4 m/s，平板下側垂直注入的空氣為Vw=0.043 m/s，空氣溫度為297.8 K，密度為1.193 kg/m3，壓強為1.02×105Pa，運動粘性系數為ν=1.458×10-6m2·s。基于平板長度的雷諾數 ReL=U∞L/ν=1.93×107，一般情況下平板的臨界雷諾數介于105～106，可知該流動早已處于湍流狀態。該算例參數與Andersen的試驗參數一致［6］。

在二維層流計算程序的基礎上，這里補充了Wilcoxk-ω湍流模式，實現了對該流動模型的湍流數值模擬。在整個控制方程組的計算中，先計算動量方程，然后是連續方程，最后是湍流模式方程，采用迭代方法，監視流向速度分量，前后2次迭代結果相對差值限制為1×10－4，如果相對差值小于該值，可認為計算收斂到穩定狀態，可停止計算。在動量方程及湍流模式方程的離散中，對流項采用二階迎風格式，其他項都采用二階中心差分格式，連續方程采用二階中心差分格式。本文設置的矩形計算區域為3.0×0.123，為驗證網格的收斂性，對此設置了3套均勻嵌套網格，流向與法向的節點數目分別是301×101、151×51、75×25，這3套網格的沿流向方向的平板摩擦阻力系數如圖1所示，可見，計算結果對設置的網格密度是穩定的，后續計算中將選取中密度網格，即151×51。計算邊界條件來流采用均勻來流，有質量注入情況平板采用給定速度來流，無質量注入情況采用無滑移條件，出口采用自由出流，上邊界采用周期邊界。

圖1 3種網格密度下的平板局部摩擦阻力系數流向分布的比較Fig.1 The comparison of local frictional coefficients along the plate with three kinds of grids

2.2 數值結果及討論

首先，為了驗證選用的湍流模式及數值方法的精度，首先比較了摩擦阻力系數Cf=2τw/ρU∞2，τw=的數值結果與Andersen的試驗結果，圖2是該系數的兩者比較。該系數取決于流向速度分量沿著壁面的法向一階導數及渦粘系數，所以通過該系數的數值結果與試驗結果的比較，能有效的驗證數值計算的精度。如圖2所示，位于平板0.25 m測點處，兩者誤差最大，相差12%，但之后兩者迅速靠近，0.5 m以后兩者吻合良好，說明數值結果可靠并有較高的精度。

為考慮質量注入后的對整個邊界流動的影響，本文以下分有無質量注入2種情況，在其他條件保持不變的條件下，考察流動的一些關鍵物理量的對比，包括速度剖面，湍流動能，湍流渦粘性系數的分布，以增進對流動的認識。在無質量注入的情況下，邊界條件換成無滑移條件。圖3是2種情況下的摩擦阻力沿平板分布情況，由此可見，在有質量注入的情況下，確實能很大幅度的減少摩擦阻力，隨著流向方向增加，減阻幅度越來越大，從板前減阻大約30%發展到80%。

圖2 平板流向的局部摩擦阻力系數數值解與試驗解的比較Fig.2 Comparison of local frictional coefficients along the plate between numerical and experimental results

圖3 有無質量注入情況下的平板局部摩擦阻力系數沿流向分布的比較Fig.3 Comparison of local frictional coefficients along the wall between mass injection and no injection’s results

圖4給出了2種情況下在流向位置x=1 m處的流向平均速度剖面。圖4顯示在有質量注入的情況下邊界層的名義厚度為0.04 m，而在無質量注入的情況下，名義厚度0.025 m，由此可見，外界質量的注入有效的增加了邊界層的厚度，符合外界質量注入會導致邊界層的膨脹效應(blowing off effect)。由于邊界層厚度增加，邊界層對平板的擠壓力會降低，從而減少對平板的摩擦阻力，通過邊界層的膨脹效應，可定性上解釋質量注入的減阻效果。

圖5是在流向位置x=3m處的流向平均速度剖面比較。圖6同樣顯示了質量注入下的邊界層膨脹效應，名義邊界層厚度從0.06 m增加到0.12 m，厚度增加比從流向位置x=1 m處的1.6倍增加到2.0倍，進而可解釋沿著流向方向，減阻效果越來越顯著。

圖6和圖7分別給出了湍動能k=(u＇2+v＇2)/2在有無質量注入情況下的分布情況。由圖可見，隨著離壁面距離的增加，2種情況下的湍動能都是逐漸增加，過了邊界層中心區域之后又逐漸減少的。隨著流向距離的增加，2種情況下湍動能都是逐漸減少的。計算表明，湍動能在2種情況下的在流場分布的趨勢是一致的，但兩者在數量上是有區別的。在有質量注入的情況下，湍動能值明顯大于無質量注入情況，且它的分布區域明顯更發散，2個圖中的最大值分布區域說明了這點。通過湍動能分布表明，在質量注入情況下，外界流體與內部流體在邊界層內相互作用，促進了邊界層內的湍流發展，這種情況也體現在圖8中。

圖4 有無質量注入情況下的流向位置x=1 m處流向平均速度剖面比較Fig.4 Comparisons of averaged stream wise velocity profiles with/without mass injection cases on the position of x=1 m

圖5 有無質量注入情況下的流向位置x=3 m處流向平均速度剖面比較Fig.5 Comparisons of averaged stream wise velocity profiles with/without mass injection on the position of x=3 m

圖6 質量注入情況下的湍動能分布等直線圖分布Fig.6 Contour lines of turbulent kinetic energy in mass injection case

圖8是2種情況下無量綱湍動能在流向位置x=1 m處的剖面分布，從圖可見，有質量注入情況的湍動能明顯要大于無質量的湍動能，其分布區域也明顯較分散，且最大值的分布趨于遠離壁面。

圖7 無質量注入情況下的湍動能分布等直線圖分布Fig.7 Contour lines of turbulent kinetic energy in no mass injection case

圖8 無量綱湍動能在流向位置x=1 m處的剖面分布對比Fig.8 Profiles of dimensionless turbulent kinetic energy on the position of x=1 m

圖9、10分別給出了渦粘系數μt與分子粘性系數μ的比值在有無質量注入情況下的分布情況。由圖可見，隨著離壁面距離的增加，2種情況下的渦粘系數系先逐漸增加后又逐漸減少的。隨著流向距離的增加，2種情況下湍動能都是逐漸增加的。

圖9 質量注入情況下的渦粘系數與分子粘性系數之比的等直線分布圖Fig.9 Contour lines of ratio between turbulent and molecular viscous coefficients in mass injection case

計算表明，渦粘系數在2種情況下的在流場分布的趨勢也是一致的，最大值主要集中在邊界層中后區域。但有質量注入的情況下，渦粘系數值明顯大于無質量注入情況，大致是其2倍左右。

圖11是2種情況下渦粘系數與分子粘性系數之比在流向位置x=1 m處的剖面分布，計算顯示有質量注入情況的渦粘系數明顯要大于無質量注入的渦粘系數，大致是其2倍左右，其分布區域也明顯較分散且最大值的分布趨于遠離壁面。

圖10 無質量注入情況下的渦粘系數與分子粘性系數之比的等直線分布圖Fig.10 Contour lines of ratio between turbulent and molecular viscous coefficients in no massinjection case

圖11 渦粘系數之比在流向位置x=1 m處的剖面分布對比Fig.11 Comparison of the dimensionless turbulent eddy coefficient’s profiles with/without mass injection on the position of x=1 m

3 結束語

本文采用RANS方法對有質量注入情況下的多孔平板壁面湍流做了數值模擬，應用Wilcoxk-ω湍流模式模擬渦粘系數，得到的摩擦阻力系數與相應的試驗結果對比，表明數值計算具有較高的精度。通過與無質量注入的情況相比，表明質量注入能有效的降低邊界層壁面上的摩擦阻力。在此基礎上，近一步給出了流場的一些關鍵量如平均速度剖面、湍動能、渦粘系數的分布，定性解釋了質量注入的減阻效果。通過對這些量的對比分析，同時有助于提高對這種較為復雜流動現象的認識，這種認識可歸納為2點，一是驗證了質量注入帶來的邊界層膨脹效應，二是質量注入會使得邊界層內湍流發展更為充分。本文僅考慮了給定某一注入流量的情況，質量注入的流量參數對平板或者曲板的降阻效應的定量分析將在后續研究。

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