一類級聯系統的微分無源性

康劍靈, 張　暉， 葉華文

(1. 東華大學 理學院， 上海 201620； 2. 中南大學 信息科學與工程學院， 湖南 長沙 410083)

一類級聯系統的微分無源性

康劍靈1, 張暉1， 葉華文2

(1. 東華大學 理學院， 上海 201620； 2. 中南大學 信息科學與工程學院， 湖南 長沙 410083)

微分無源性將微分存儲函數和微分李雅普諾夫函數聯系起來，是研究非線性系統穩定性的有力工具.通過判斷系統解之間的距離研究系統解的跟蹤、同步等問題.研究了一類級聯系統的微分無源性，討論了保證系統具有微分無源性的條件，并給出這類級聯系統具有的一些性質.

微分無源性； 微分存儲函數； 級聯系統； 延拓系統

2013年，在收縮理論[1]基礎上，文獻[2]通過提升李雅普諾夫函數到切叢上，建立了非線性系統理論的微分李雅普諾夫框架，并以此來研究系統的增量穩定性.在此框架下，文獻[3]通過提升存儲函數和供給率到系統流形的切叢上，又給出了系統微分耗散的思想，介紹了系統的增量耗散性.同時，文獻[4]基于非線性延拓系統(即原非線性系統和其變分系統)的幾何結構建立了系統的微分無源理論. 文獻[5]通過對一類物理系統的微分無源性的討論，給出有對偶能量的梯度系統非線性電路Baryton-Moser系統保持微分無源的幾何條件.

上述的各種微分方法都將穩定性從初始解到目標解(即平衡態)的距離研究轉化為任意兩個解之間的距離研究，這種忽略初始解和目標解狀態的方法被用在跟蹤調節[6]、觀測器設計[7]、同步[8]等問題中.

本文在文獻[2-3, 5]的基礎上研究一類級聯系統保持微分無源性的幾何條件.下面介紹一些記號和定義.

定義1非線性系統

(1)

其中：狀態空間為M,輸入空間U?Rm,輸出空間Y?Rm,x∈M,u∈U,y∈Y.f和g是向量場，映射h:M→Y.其變分系統為

(2)

稱系統(1)和(2)的合并系統為系統(1)的延拓系統.

定義2Ω是M的孤立點集，對任意的x∈M,TxM可以分為垂直分布Vx?TxM,和水平分布Hx?TxM的直和，即Vx⊕Hx=TxM,其中vi(1≤i≤r)和hi(1≤i≤k)是C1向量場.

Vx=span{v1(x),v2(x), …,vr(x)},

0≤r

(3)

Hx=span{h1(x),h2(x), …,hk(x)},

0≤k

(4)

若存在c1,c2∈R≥0,p∈R≥1和函數F:TM→R≥0,使對任意的(x,δx) ∈TM都有

c1F(x,δx)p≤δS(x,δx)≤c2F(x,δx)p

(5)

則稱函數δS:TM→R≥0是系統的微分存儲函數.

δS和F必須滿足以下條件：任給一孤立點集Ω?M,

(ⅰ) 對任意的x∈M,δx∈Hx{0},δS和F是C1的；

(ⅱ) 對任意的(x,δx)∈TM,使得(x,δx)=(x,δxh)+(x,δxv),其中δxh∈Hx,δxv∈Vx,滿足δS(x,δx)=δS(x,δxh),δF(x,δx)=δF(x,δxh);

(ⅲ) 對任意的x∈MΩ,δx∈Hx,滿足F(x,δx)>0;

(ⅳ) 對任意的λ>0,x∈M,δx∈Hx,滿足F(x,λδx)=λF(x,δx);

(ⅴ)F(x,δx1+δx2)

定義3如果系統(1)存在微分存儲函數δS,使得對所有的t≥0,延拓系統的所有解(x,y,u,δx,δy,δu)滿足：

δS(x(t),δx(t))-δS(x(0),δx(0))≤

(6)

則稱系統(1)是微分無源的.

假設δS∈C1,不等式(6)兩邊同時對t求導可得

則稱系統為增量穩定的.

1　系統模型介紹

考慮下面的級聯系統：

(7)

根據文獻[3]，可以得到系統(7)的變分系統：

(8)

系統(7)和(8)的合并系統為系統(7)的延拓系統，其中狀態(x1,x2,δx1,δx2)∈TM,輸入(u,δu)∈TU,輸出(y,δy)∈TY.

對于系統(7)的任意解(x1,x2,u,y),系統(8)中的解(δx1,δx2,δu,δy)是解(x1,x2,u,y)的無窮小變分，即(δx1,δx2,δu,δy)是(x1,x2,u,y)和其他解的無窮小誤差.更加直觀地可以看到，當(δx1,δx2)收斂到0時，系統(7)中的解互相收斂.文獻[1]基于李雅普諾夫方法，研究了δx的收縮性和穩定性之間的關系.

本文在文獻[2-3]的基礎上研究上述級聯系統的微分無源性，即這類級聯系統具有微分無源性的條件以及保持微分無源性的級聯系統所具有的幾何性質及物理意義.

2　主要結果

定理1如果系統(7)是微分無源的，且具有微分存儲函數δS∈C1,當對任意的x∈M都有垂直分布Vx=0時，系統(7)是增量穩定的.

(9)

由定義4可知，系統(7)是增量穩定的.

(10)

(11)

(12)

(13)

證明：要使

g2(x2)δu≤δy(t)Tδu(t).

g2(x2)δu=δy(t)Tδu(t)

根據條件(a)和(b)易得式(10).

條件(e)化簡后即為式(12).

比較上面等式左右兩邊即得式(13).

證畢.

定理1中的式(9)保證系統在u=0時,系統自身具有收斂性，即系統的穩定性由度量M1和M2(即驅動系統和被驅動系統)的穩定性決定，其中式(10)表示級聯項能量需要隨著時間t遞減. 式(11)限制了度量矩陣M2(x2)的范圍，因為g2(x2)的性質決定了M2(x2).同樣根據式(12)，可以得到輸出y的形式.

(14)

(15)

(16)

證畢.

(17)

(18)

(19)

(20)

證明類似命題1的推導.

例1考慮線性級聯系統

(21)

它的變分系統為

(22)

3　結　語

本文在非線性系統的幾何控制理論框架下，研究了一類級聯系統微分無源的幾何結構，但未對系統的穩定性進行討論.后續將針對一些實際的級聯系統模型基于微分無源性進行系統的穩定性研究，并將針對一些特殊的非線性系統討論其微分無源性結構及其穩定性.

[1] LOHMILLER W, SLOTINE J E. On contraction analysis for non-linear systems[J]. Automatica, 1998, 34(6):683-696.

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[5] FORNI F, SEPULCHRE R, VAN DER SCHAFT A J. On differential passivity of physical systems[C]//52nd IEEE Conference on Decision and Control. 2013: 6580-6585.

[6] PAVLOV L, MARCONI L. Incremental passivity and output regulation[J]. Systems and Control Letters, 2008, 57(5):400-409.

[7] AGHANNAN N, ROUCHON P. An intrinsic observer for a class of lagrangian systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, 48(6):936-945.

[8] WANG W, SLOTINE J E. On partial contraction analysis for coupled nonlinear oscillators[J]. Biological Cybernetics, 2005, 92(1):38-53.

Differential Passivity for a Class of Cascade Systems

KANGJian-ling1,ZHANGHui1,YEHua-wen2

(1. College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China；

2. College of Information Science and Engineering， Central South University， Changsha 410083， China)

Differential passivity analysis can combine the differential storage function and differential Lyapunov function to study the stability of nonlinear systems. By judging the distances between the solutions of the system, it can be used to discuss the solution tracking and synchronization problems of the system. The passivity theory for a class of cascade system is studied. It is investgated for the conditions which can guarantee the differential passivity of the given system.Some properties are also given for this kind of cascade system.

differential passivity；differential storage function；cascade system；prolonged system

1671-0444(2015)06-0857-05

2014-09-16

國家自然科學基金資助項目(61104125)；中央高?？蒲袠I務經費資助項目(11D10911)

康劍靈(1972—)，女，江西贛州人，副教授，博士，研究方向為非線性系統幾何控制理論.E-mail:kangjl@dhu.edu.cn

O 231.2

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