整體思維：數(shù)學復習教學的有效路徑

【摘 要】整體思維是一種“通體相關的思維”。用在數(shù)學教學中，則體現(xiàn)在問題設計的整體性、知識建構的立體性和思想方法的系統(tǒng)性三個方面。它利于知識左右關聯(lián)、上下貫通，讓“會一題，通一類，連一片”不再是口號。實踐證明，整體思維符合教育學、心理學原理和學生的年齡特征，關注學習者的經驗和情意，反映知識的更新過程，使數(shù)學復習教學更具有效性。

【關鍵詞】整體思維;數(shù)學復習;課例研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0036-02

【作者簡介】朱桂鳳，江蘇省連云港市幸福路中學（江蘇連云港，222023）高級教師。

2015年中考已經結束，筆者對半年來的中考復習教學進行了回顧與反思。發(fā)現(xiàn)在中考第一輪復習后，學生容易出現(xiàn)疲憊狀態(tài)，數(shù)學復習教學呈現(xiàn)出低效現(xiàn)象。為克服此種情形，筆者曾上過一節(jié)基于“整體思維”的研究課（“特殊四邊形”的復習教學），收到了良好的教學效果。現(xiàn)梳理成文，希望能給復習期的初中數(shù)學教學添就新的研究視角。

一、數(shù)學整體思維的內涵

整體思維是一種“通體相關的思維”，[1]它強調從整體上把握事物的本質，重視整體與部分的內在關聯(lián)。把“整體思維”的思想方法用在數(shù)學課堂教學中，則體現(xiàn)為問題設計的整體性、知識建構的立體性和思想方法的系統(tǒng)性。整體思維利于知識左右關聯(lián)、上下貫通，進而讓“會一題，通一類，連一片”不再是掛在嘴邊的口號;它力促一種復習行為具體化的革新，使得數(shù)學復習擁有融合度、匹配度和指向度，刷新數(shù)學復習課的舊模式，謀求數(shù)學復習教學更為有效的路徑。

二、數(shù)學整體思維的實踐價值

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）指出，要經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握問題解決的一般方法;在運用數(shù)學表述和解決問題的過程中，體會數(shù)學的實踐價值。而整體思維就體現(xiàn)出問題解決方法的一般化和多樣性，使得數(shù)學復習教學具有“大一統(tǒng)”的眼界。因此，整體思維是數(shù)學復習課的精髓，能釋放學生數(shù)學學習的潛力。

1.順應學生數(shù)學認知發(fā)展水平。

初中學生的數(shù)學分析思維水平依然偏低，歸結問題的能力不足，凝練方法經驗的能力欠缺。這些能力的提升均離不開整體思維的參與。唯有借助整體思維，方能實現(xiàn)知識歸位、方法到位、經驗立位的立體性數(shù)學學科價值。

2.契合學生數(shù)學學習過程。

根據(jù)學生的認知規(guī)律，習得知識的過程就是將知識內化的過程。而學生在用整體思維思考問題的過程中，要經過知識的搜索和排序、思想方法的內化和提煉、基本經驗的稱量和借鑒等序列化思維活動。在此類思維活動的過程中，思維內層積極更新知識，使得同質知識一統(tǒng)、異質知識關聯(lián)，實現(xiàn)由內而外釋放知識的力量，從而建構起充滿活性的知識體系。

三、數(shù)學整體思維的實踐路徑

整體思維是數(shù)學復習課不可或缺的思想方法。離開整體思維的指導，會壓縮學生思維的興趣，降低知識關聯(lián)的融合度、弱化數(shù)理判斷的匹配度、分散方法經驗的指向度，使得數(shù)學復習課低效甚至無效。因此，必須高舉“整體思維”的大旗，方能實現(xiàn)高效復習的初衷，體現(xiàn)學科的育人價值。

1.打通整體思維通道，凸顯知識關聯(lián)。

打通整體思維通道的過程，就是強化知識關聯(lián)的過程。穩(wěn)定的數(shù)學能力的形成需要教師的指導和學生的實踐歷練，就這個層面而言，唯有打通整體思維的通道、鏈接中考、俯瞰概念結構，方能融合知識間的內外關聯(lián)，落實思維的連續(xù)性，預期繁華的思維景象。為此，筆者在復習“特殊的平行四邊形”這一節(jié)內容時，首先做出如下設置。

【理論鋪墊】

（1）特殊四邊形的性質表

（2）寫一個你認為合適的條件：

要使？荀ABCD成為矩形，需添加的條件是 ?;要使？荀ABCD成為菱形，需添加的條件是 ?;

要使矩形ABCD成為正方形，需添加 ?;要使菱形ABCD成為正方形，需添加 ?;

要使？荀ABCD成為正方形，需添加 ?;要使梯形ABCD成為等腰梯形，需添加 ?。

【研究示例】

活動一：測一測

（2007年·連云港卷）如圖1，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA。下列四個判斷中，不正確的是（ ）。

A.四邊形AEDF是平行四邊形

B.如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是矩形

C.如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形

D.如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDF是正方形

設問：若正確，說明判斷依據(jù);若不正確，更改條件使其正確。

案例中的“理論鋪墊”項和“測一測”活動項，就是打通特殊四邊形關聯(lián)通道的具體化（站在概念識別與判斷的基線上，展示概念的通性和差異）。它們使得孤立的概念群（平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形及其元素），在直觀圖表的幫助下和整體思維的關聯(lián)下，融合為一個不可分割的整體（特殊四邊形群體的對稱性）。填表的過程就是學生利用整體思維關聯(lián)知識的過程（“理論鋪墊”項）;判斷正誤的過程就是學生整體思維運行的過程（“測一測”活動項）。就教學現(xiàn)場來看，學生的思維活躍，興趣思維理性化，屏蔽了思維原地踏步的低迷狀態(tài)，實現(xiàn)了高效的數(shù)學復習。

2.和合整體思維方式，強化數(shù)理判斷。

把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，這是課標對數(shù)學教學的要求。這意味著數(shù)學復習應該更多地關注數(shù)理知識結構和完善學生的數(shù)學認知結構，重視數(shù)量關系和變化規(guī)律的符號化，強調知識與方法的匹配，形成層次分明的知識譜系。和合整體思維透過思想方法洞悉問題本質、獲悉解題路徑，最終實現(xiàn)數(shù)學復習教學的立體目標群（認知目標+動作技能目標+思維目標+情意目標）。為此，筆者設計了第二個教學活動模塊。

活動二：做一做

（2013年·連云港卷）如圖2所示，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為 ?。

追問：還有其他的解法嗎？

（中考指南改編題）將兩張長為8、寬為2的矩形紙條交叉重疊，疊合部分面積的最小值為 ;最大值為 。

追問：畫出圖形并說說你的思考過程。

上述“做一做”活動就是和合整體思維的具體體現(xiàn)。就知識目標而言，考查對稱圖形的本質（等腰三角形、矩形、菱形和正方形）;就技能目標而言，考查數(shù)理能力（疊合、勾股定理的本質、角度計量）;就思維目標而言，考查轉化、作差、數(shù)形結合和極限等思想方法（將圖形邊長轉化為方程），獲得最終結果的過程就是整體思維運行的過程;就情意目標而言，則使學生體會到歷經思考后獲得的成功感，這種成功感是由內而外的。因此，和合整體思維方式是數(shù)學復習應有的思維樣態(tài)。

3.謀劃整體思維主題，聚焦經驗方法。

整體思維是一種設計視野，但如果沒有經驗方法的聚焦，則無法獲取多維的思維承載體。整體思維是一種方法，但如果沒有方法經驗的奠基，方法只能是方法論世界的海市蜃樓;整體思維是一種理解數(shù)學的方式，但如果沒有經驗方法的沉淀，這種理解方式只能是句口號（思想方法隱藏在具體知識的背后）。在整體思維下注重經驗方法的總結是復習教學的重頭戲，因此，筆者在教學的結尾做了如下設計：

活動三：議一議

如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F兩點在邊BC上，且四邊形AEFD是平行四邊形。

（1）AD與BC有怎樣的等量關系？請說明理由;

（2）當AB=DC時，求證：？荀AEFD是矩形。

設問：你是怎樣思考的？本題考查了哪些知識點和思想方法？

上述“議一議”活動，第（1）個問題是圍繞概念的整體經驗進行的，獲取數(shù)量關系和作出判斷的過程就是方法經驗外顯的過程;第（2）個問題是圍繞意象經驗的聚焦而展開的，問題分析的過程就是整體經驗方法釋放的過程。

綜上，本案例由“理論鋪墊→測一測→做一做→議一議”4個組塊構成，組塊1是對概念群的回溯與更新;組塊2是對概念群的甄別與判斷;組塊3是對概念群的應用與遷移;組塊4是對概念群結構的推演和升華。4個組塊在適切主題的承載下有序有向地推進，它們是整體思維在數(shù)學復習教學中的具體體現(xiàn)，為數(shù)學復習教學的成功提供了保障。

【參考文獻】

[1]蒙培元.中國哲學主體思維[M].北京：人民出版社，1993.

[2]王光明，戴永.數(shù)學命題的整體性教學策略[J].中學數(shù)學教學參考，2007（23）.