非齊次樹上非齊次馬氏鏈的若干強大數定律

金少華，任夢，孫賽賽，韓瑞澤

（河北工業大學理學院，天津 300401）

非齊次樹上非齊次馬氏鏈的若干強大數定律

金少華，任夢，孫賽賽，韓瑞澤

（河北工業大學理學院，天津 300401）

通過構造適當的非負鞅，將Doob鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，給出了一類非齊次樹上m重連續狀態非齊次馬氏鏈的若干強大數定律，推廣了相關結果.

非齊次樹；鞅；馬氏鏈；強大數定律

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.001

1 引言

樹指標隨機過程已成為近年發展起來的概率論的研究方向之一.強大數定律一直是國際概率論界研究的中心課題之一.文獻［1］給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.文獻［2］給出了一類非齊次樹上連續狀態馬氏泛函的若干強大數定律.文獻［3］給出了非齊次樹上馬氏信源的一類Shannon-M cM illan定理.文獻［4］研究了Cayley樹指標有限狀態非齊次Markov鏈的強大數定律和漸近均分割性（AEP）.文獻［5］首先給出了在可列狀態空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式，然后建立了二叉樹上分枝馬氏鏈的若干強極限定理，最后研究了二叉樹上有限狀態分枝馬氏鏈的強大數定理.文獻［6］研究了m根Cayley樹指標m階有限狀態非齊次M arkov鏈的一些極限性質.本文通過構造適當的非負鞅，將Doob鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，給出了一類m重連續狀態非齊次馬氏鏈的若干強大數定律.

2 定義

設T是一個具有根頂點o的無限樹，｛Nn,n≥1｝是一列正整數集，如果第n（n≥0）層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰，則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地，若對非負整數集N，用模m的同余關系對其分類得到模m的剩余類，

當n∈（i）時，令Nn+1=αi（αi均為正整數且不同時為1），i=0,1,2,···,m?1，就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示樹Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）層上所有頂點的子圖，Tn表示含有從頂點o到第n層上所有頂點的子圖.S（t）表示頂點t的所有子代的子圖.

是｛Xσ,σ∈T｝的初始分布，并有正則條件概率族：

則稱｛Xσ,σ∈T｝為具有初始分布（1）與正則條件概率族（2）的在S上取值的連續狀態樹指標m重非齊次馬爾可夫鏈.若

則

令

也即

由定義2.1知，上述樹T上的m重非齊次馬爾可夫鏈的聯合分布密度為：

設Q為F上的另一概率測度，設｛Xσ,σ∈T｝在Q下的聯合分布密度為：

令

稱rn（ω）為似然比，其中ω為樣本點.令

（約定ln 0=?∞），r（ω）稱為漸近對數似然比.易知，如果

則r（ω）≡0.故r（ω）可以作為n→∞時，｛Xσ,σ∈T｝在P測度下的聯合分布密度f(XTn)與Q測度下的聯合分布密度g(XTn)之間偏差的一種度量，r（ω）越小，偏差越小.

3 主要結果及證明

引理 3.1 設｛Xσ,σ∈T｝為如前定義的樹T上的m重連續狀態非齊次馬爾可夫鏈.設

設

則{tn（λ,ω）,σ(XTn),n≥1}在測度Q下是一非負鞅.

證明 由

又因為

令

則

（13）式成為

（13）式成為

故

因此

定理 3.1 設 ｛Xσ,σ∈T｝為如前定義的樹 T上的 m重連續狀態非齊次馬爾可夫鏈，rn（ω）和r（ω）均如前定義.設

則當0≤c≤1時，有

證明 由引理3.1及Doob鞅收斂定理知，存在A（λ）∈F，P（A（λ））=1，使得

由（9）式，有

由（10）式、（19）式與（20）式，有

取λ＞1，將（21）式兩端同除以lnλ，有

由（8）式與（22）式，有

由（16）式與（23）式，有

由（15）式、（24）式及上極限的性質，可得

與不等式

因為P（A?）=1，故由（27）式及（28）式知（17）式成立.

當0＜λ＜1時，將（21）式兩端同除以lnλ，有

由（8）式、（16）式與（29）式，有

由（15）式、（30）式與下極限的性質，有

及不等式

則

又因為P（A?）=1，則由（33）式及（34）式知（18）式成立.

在A1,···,Am+1中出現的次數，即

則

證明 在定理3.1中，令

即得推論3.1成立.

［1］Yang W G.A class of deviation theorem s for the random felds associated w ith non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and App lications，2012，30（2）：220-237.

［2］金少華，王東，王永生，等.關于樹上連續狀態馬氏泛函的一類強偏差定理［J］.數學的實踐與認識，2014，44（1）：212 -217.

［3］金少華，盧芳，陳秀引，等.非齊次樹上馬氏信源的一類Shannon-M cM illan定理［J］.純粹數學與應用數學，2014，30（4）：331-340.

［4］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-M cM illan theorem for non-homogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statist Probab.Lett.，2011，81：1883-1890.

［5］黨慧，楊衛國，高榮，等.二叉樹上分枝馬氏鏈的強大數定理［J］.純粹數學與應用數學，2013，29（5）：529-535.

［6］Shi Z Y，Yang W G.Som e lim it p roperties for them-th-order non-hom ogeneous M arkov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statist Probab.Lett.，2010，80（15）：1223-1233.

2010 M SC：60B12

A class o f strong law s o f large num bers of non-hom ogeneous M arkov chain on a non-hom ogeneous tree

Jin Shaohua，Ren Meng，Sun Saisai，Han Ruize
（College of Science，Hebei University of Technology，Tian jin 300401，China）

In this paper，through constructing a non-negative martingale and app llying Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a class of strong law s of large numbers ofm-ordered continuous state non-hom ogeneous M arkov chain on a non-hom ogeneous tree are given.We prom ote the relative resu lts.

non-hom ogeneous tree，m artingale，M arkov chain，strong law of large numbers

O 211.4

A

1008-5513（2015）02-0111-11

2014-10-29.

河北省高等學校科學技術研究重點項目（ZD 2014051）.

金少華（1965-），博士，教授，研究方向：概率極限理論.