關于可列非齊次馬氏鏈的若干極限定理

吳玉，范愛華

（安徽工業大學數理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243032）

關于可列非齊次馬氏鏈的若干極限定理

吳玉，范愛華

（安徽工業大學數理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243032）

設｛Xn,n≥0｝是一列非齊次馬爾科夫鏈，｛an,n≥0｝是一列固定的非負整數序列.首先構造了一個帶參數的廣義似然比函數，然后利用Borel-Cantelli引理證明隨機變量序列幾乎處處收斂性，得到了關于可列非齊次馬氏鏈序偶廣義平均的若干極限定理，推廣了已有的結果.

可列非齊次馬氏鏈；B-C引理；強大數定律

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.009

1 引言

許多學者已對可列非齊次離散時間馬爾科夫鏈的極限定理作了大量研究，取得了豐富的成果.自上世紀八十年代以來，劉文教授和楊衛國教授及合作者在馬氏鏈場方面做了許多工作.如：文獻［1-2］利用分析方法研究了可列非齊次馬氏鏈關于狀態和狀態序偶出現頻率的強大數定律.文獻 ［3］利用研究有限非齊次馬氏鏈的強大數定律，研究了有限非齊次馬氏鏈的Shannon-M cM illan定理.近年來，也有很多學者在這些方面做出了很多成果.如：文獻［4］給出了可列狀態下m重非齊次馬氏鏈的一個強大數定律.文獻［5］給出了一類對可列非齊次馬氏鏈普遍成立的強大數定理，并且在幾乎處處收斂的意義下，給出了任意非齊次馬氏鏈狀態序偶出現頻率和轉移概率的一種關系.文獻［6］通過構造新的概率密度函數，在適當的限制條件下建立了幾乎處處收斂鞅，得到了關于非負隨機序列和的強大數定律和一類隨機偏差定理.

本文證明了隨機變量幾乎處處收斂性，獲得了關于可列非齊次馬氏鏈序偶廣義平均的若干極限定理，進一步得到了可列非齊次馬氏鏈M 元狀態序偶組出現頻率的一類強極限定理，所得結論對任意可列非齊次馬氏鏈普遍成立，推廣了若干已有的結果.在證明方法上，文獻［7］是利用傳統的區間分割來構造單調函數，然后利用單調函數幾乎處處有導數的Lebesgue定理來證明隨機序列的幾乎處處收斂性，但對于本文研究的廣義平均來說，則無法運用該方法獲得幾乎處處有導數的單調函數，因而區間分割法對于本文研究的問題就失效了.為此，本文采取了新的證明思路，即直接構造帶參數的廣義似然函數，然后運用Borel-Cantelli引理，獲得隨機序列的幾乎處處收斂性.

2 主要結論

定理2.1 設｛Xn,n≥0｝是以S=｛1,2,3,···｝為狀態空間的Markov鏈，其初始分布與轉移概率矩陣列分別為：

其中

又設k,l∈S是兩個固定的狀態，｛wm,m≥0｝是一列實數，且

設｛an,n≥0｝是一列固定的正整數.令D1為滿足下列條件的點ω的全體.

則

其中1A（·）是示性函數，即

由馬氏性，有

其中

注意到

有

于是，歸納地有

?ε＞0，由M arkov不等式有

則

由Borel-Cantelli引理，有

即

當λ＞1時，將（19）式兩邊同時除以lnλ，可得

故

取λ＞1，使λ→1，則由（21）式，有

由（22）式有

同理可得

由（23）式和（24）式有

定理2.2 在定理2.1的假設條件下，令

則

證明 令

由

注意到

由此，歸納地有

類似定理2.1的證明，得

于是

取λ＞1，將（35）式兩邊同除以λ，得

由上極限的性質

并且利用不等式0≤ln（1+x）≤x（x≥0）及（26）式，（35）式，得

取λ＞1使λ→1，則由（38）式得

同理，有

由（36）式、（39）式，得

由此可知，（27）式成立.

推論2.1 令

則

證明 在定理2.2的證明中，取

及wl≡1，即可.

推論2.2 設

則

證明 在定理2.2中取

由推論2.1可知，若ω∈（［0,1）?D3）∩E，則

由推論2.1，可知

故由（46）式、（48）式可得

設U是E中使（49）式中的不等式成立的點ω的全體，則由（41）式、（49）式與定理2.2有

由于U?E且μ（U）=μ（E），故由（50）式可知推論2.2成立.

定理2.3 在定理2.1的假設條件下，則

在幾乎處處的意義下成立的充要條件為：

在幾乎處處的意義下成立.

證明 由定理2.2的推論2.1、推論2.2即得.

注 2.1 在定理2.1，定理2.2以及定理2.3中分別令an≡0即得參考文獻［1-2］，［4］，［7-8］中的相應的結果.

因此，本文所得的結果是已有結論的推廣.

［1］劉文，楊衛國.可列非齊次馬氏鏈的若干極限定理［J］.應用數學學報，1992，15（4）：479-489.

［2］劉文，楊衛國.一類對可列非齊次M arkov鏈普遍成立的強大數定律［J］.科學通報，1992，37（16）：1448-1451.

［3］楊衛國，劉文.關于Bethe樹上二值馬氏鏈場漸近均分割性［J］.江蘇理工大學學報：自然科學版，2001，22（4）：1-6.

［4］楊衛國，姜蕾.關于可列m重非齊次馬氏鏈的一個強大數定律［J］.江蘇大學學報：自然科學版，2007，28（5）：17-21.

［5］汪忠志，楊衛國.關于相依離散隨機序列的若干強偏差定理［J］.系統科學與數學，2011，31（8）：932-942.

［6］Wang Zhongzhi.A class of random strong deviation theorem s for sum s of nonnegative stochastic sequences and strong law of large numbers［J］.Stat.Probab.Letts.，2006，78：3281-3287.

［7］金少華.可列非齊次馬氏鏈的一個強極限定理［J］.應用數學，1997，10（1）：42-45.

［8］金少華，蘭景濤，張會鵬.關于可列非齊次馬爾科夫鏈的一個強極限定理及其推廣［J］.大學數學，2006，22（4）：21-29.

2010 M SC：60F15

Som e lim it theorem s for non-hom ogeneous M arkov chains

Wu Yu，Fan Aihua

（School of M athem atics&Physics Science and Engineering，Anhui University of Technology，M a′anshan 243032，China）

Let｛Xn，n≥0｝be a sequence of nonhom ogeneous M arkov chains and｛an，n≥0｝be a f xed sequence of non-negative integers.In this paper，we f rst construct a generalized likelihood ratio function w ith a parameter，then by using the Borel-Cantelli Lemma to prove the almost everywhere convergence of random variab les，we obtain som e lim it theorem s for countable nonhom ogeneous M arkov chains of ordered coup le of generalized m ean，which generalize som e existing results.

nonhomogeneous Markov chain，B-C Lemma，strong law of large numbers

O 211.62

A

1008-5513（2015）02-0182-12

2014-09-17.

安徽工業大學青年教師科研基金（QZ201314）；安徽省自然科學基金（1408085M A 04）；安徽工業大學研究生創新基金（2013093）.

吳玉（1991-），碩士生，研究方向：概率論及其應用.

范愛華（1964-），碩士，教授，研究方向：概率極限理論.