Filiform李代數Q n的H om-結構

于歡歡，劉文德

（哈爾濱師范大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150025）

Filiform李代數Qn的H om-結構

于歡歡，劉文德

（哈爾濱師范大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150025）

首先證明了有限維Z-階化李代數上的一個線性算子是Hom-結構的充分必要條件，即它的每個齊次分支也是Hom-結構.然后計算了特征零代數閉域上一類有限維Z-階化Filiform李代數Qn的齊次Hom-結構，從而決定了Qn的所有Hom-結構.

Filiform李代數；階化結構；Hom-結構

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.006

1 引言

2006年，文獻［1］在研究W itt代數和Virasoro代數的量子形變時，引進了Hom-李代數的概念.粗略地說，Hom-李代數是帶有一個斜對稱雙線性乘法和一個線性算子的代數，并且滿足Hom-Jacobi恒等式.Hom-李代數是李理論的一個重要方向，與李代數等重要代數結構有著密切關系.近幾年關于Hom-李代數的研究非常活躍.例如：2011年，文獻［2］刻畫了Hom-代數的同調和形變.2012年，文獻［3］給出了Hom-李代數的伴隨表示、平凡表示以及它的導子、形變、中心擴張等.

近年來對一類代數Hom-結構的研究也比較活躍.例如：2008年，文獻［4］計算了特征零代數閉域上的半單李代數的所有保積Hom-結構.2013年，文獻［5］證明了復數域上有限維單李超代數的保積Hom-結構一定是0或者是恒等自同構.2014年，文獻［6］刻畫了特征零上的8類無限維單的向量場李超代數的Hom-結構，證明了這些單的向量場李超代數的不保積Hom-結構都是純量，并進一步證明了這些單的向量場李超代數的保積Hom-結構一定是0或者是恒等自同構.同年，文獻［7］計算了Filiform李超代數Ln，m的導子和保積Hom-結構.本文計算了一類Filiform李代數的全體Hom-結構.

文獻［8］在研究冪零李代數的可約性時引進了Filiform李代數的概念.該文應用李代數的上同調理論證明了Filiform李代數構成的集合是冪零李代數簇的開子簇，這一結果對證明高維冪零李代數簇的可約性起到了至關重要的作用.文獻［9］對低維Filiform李代數進行了分類，并給出了復數域上維數小于等于11的Filiform李代數的同構類.文獻［10］計算了無限維Filiform李代數L1的1階、2階以及3階伴隨模的上同調和非等價形變.文獻［11］對自然階化擬-Filiform李代數進行了分類.文獻［12］證明了任意一個n維自然階化Filiform李代數都同構于Ln或Qn，當n是奇數時，同構于Ln，當n是偶數時，同構于Ln或Qn.本文通過計算特征零代數閉域F上有限維Z-階化Filiform李代數Qn的齊次Hom-結構，并進一步得到了它的全體Hom-結構.

2 基本概念和性質

定義2.1［1］設（g,［?,?］）是一個李代數，φ：g→g是一個線性算子.若以下Hom-Jacobi等式成立，則稱φ為李代數g的Hom-結構.若Hom-結構φ還是李代數同態，則稱φ為李代數g的保積Hom-結構.

李代數g上的所有Hom-結構關于線性算子的加法和數乘構成一個向量空間，記作HS（g）.

則稱李代數g是Z-階化的.

其中

若φ∈Endi（g），則稱φ具有Z-次數i，記作|φ|=i.

定理2.1 設g是一個Z-階化的有限維李代數，則有

其中HSi（g）=HS（g）∩Endi（g）.

因為

3 Filiform李代數Q n的Hom-結構

若一個n維冪零李代數的冪零指數是n?1，則稱此冪零李代數為Filiform李代數.本文將計算一類比較重要的Filiform李代數Qn的Hom-結構.Qn是特征零代數閉域F上的有限維Z-階化Filiform李代數，并且具有一組基｛X1,X2,···,Xn｝，有如下的方括號運算：

其中n=2n1,n1∈Z，其它基元素的方括號均為0.

設φ是Filiform李代數Qn的一個Hom-結構，它在基｛X1,X2,···,Xn｝下的矩陣為：

引理3.1 HS0（Qn）有一組基為：

證明 對于任意的φ0∈HS0（Qn），φ0在基｛X1,X2,···,Xn｝下的矩陣為：

由Hom-結構定義可知，φ0是Filiform李代數Qn的Hom-結構當且僅當任意基元素均滿足（1）式.分如下三種情形進行討論：

（1）取x,y,z為X1,X2,X3時，由（1）式得a12=0；

（2）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i（2≤i≤n1?1）時，由（1）式得

（3）取x,y,z為其它基元素時，（1）式恒成立.所以，HS0（Qn）的一組基為：

引理3.2 HS2k（Qn）（1≤k≤n?2,k∈Z）有一組基如表1所示.

表1 HS2k（Q n）（1≤k≤n-2，k∈Z）的基元素

證明 對任意的φ2k∈HS2k（Qn），φ2k在基｛X1,X2,···,Xn｝下的矩陣為：

由Hom-結構定義可知，φ2k是Filiform李代數Qn的Hom-結構當且僅當任意基元素均滿足（1）式.

（1）當1≤k≤n?4且為偶數時，分如下兩種情況進行討論.

（a）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i-k（2≤i≤n1?（k+2）/2）時，由（1）式得

（b）取x,y,z為其它基元素時，（1）式恒成立.此時，HS2k（Qn）的一組基為：

（2）當1≤k≤n?4且為奇數時，分如下兩種情況進行討論：

（a）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i-k（2≤i≤n1?（k+1）/2）時，由（1）式得

（b）取x,y,z為其它基元素時，（1）式恒成立.此時，HS2k（Qn）的一組基為：

（3）當n?3≤k≤n?2時，取x,y,z為任意基元素（1）式均成立.此時，HS2k（Qn）的一組基為：｛Ek+2，1｝∪｛Ek+i，i|2≤i≤n?k｝.

（4）當k≥n?1時，φ2k=0.

引理3.3 HS-2k（Qn）（1≤k≤n?4,k∈Z）有一組基如表2所示.

表2 HS-2k（Q n）（1≤k≤n-4，k∈Z）的基元素

證明 對任意的φ-2k∈HS-2k（Qn），φ-2k在基｛X1,X2,···,Xn｝下的矩陣為：

由Hom-結構定義可知，φ-2k是Filiform李代數Qn的Hom-結構當且僅當任意基元素均滿足（1）式.

（1）當k=1時，分如下四種情況進行討論：

（a）取x,y,z為X1,X2,X3時，由（1）式得a13=0；

（b）取x,y,z為X1,X2,Xn-1時，由（1）式得an-2，n-1=0；

（c）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i+1（3≤i≤n1）時，由（1）式得

（d）取x,y,z為其它基元素時，（1）式恒成立.所以，HS-2（Qn）的一組基為：

（2）當2≤k≤n?4且為偶數時，分如下四種情況進行討論：

（a）取x,y,z為X1,X2,Xk+2時，由（1）式得a1，k+2=0；

（b）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i+k（2≤i≤k+1）時，由（1）式得an-i，n-i+k=0；

（c）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i+k（k+2≤i≤n1+（k?2）/2）時，由（1）式得

（d）取x,y,z為其它基元素時，（1）式恒成立.所以HS-2k（Qn）的一組基為：

｛E n1+k/2，n1-k/2｝∪｛E i-k，i+E n-i，n-i+k|k+2≤i≤n1+（k?2）/2｝.

（3）當2≤k≤n?4且為奇數時，分如下四種情況進行討論：

（a）取x,y,z為X1,X2,Xk+2時，由（1）式得a1，k+2=0；

（b）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i+k（2≤i≤k+1）時，由（1）式得

（c）取x,y,z為X1,Xi,Xn-i+k（k+2≤i≤n1+（k?1）/2）時，由（1）式得

（d）取x,y,z為其它基元素時，（1）式恒成立.所以，HS-2k（Qn）的一組基為：

（4）當k≥n?3時，φ-2k=0.

定理3.1 域F上的有限維Z-階化Filiform李代數Qn的全體Hom-結構

有如表3所示的一組基.

表3 HS（g）的基元素

證明 由定理2.1可知，HS（Qn）中的任意元素都可以寫成齊次Hom-結構的線性組合.再由引理3.1-引理3.3可知，HS（Qn）的所有齊次分支HS2k（Qn）的基元素如上表所示，顯然它們都是線性無關的，故上表所示元素的全體構成了HS（Qn）的一組基.

［1］Haryw ig J，Larsson D，Silvestrov S.Deform ations of Lie algebras usingσ-derivations［J］.J.A lgebra，2006，295：314-361.

［2］Amm ar F，Ejbehi Z，M akhlou f A.Cohom ology and deform ations of Hom-algebras［J］.J.Lie Theory，2011，21：813-836.

［3］Sheng Y.Representations of Hom-Lie algebras［J］.J.A lgebra，2012，15（6）：1081-1098.

［4］Jin Q，Li X.Hom-structures on sem i-sim p le Lie algebras［J］.J.A lgebra，2008，319：1398-1408.

［5］Cao B，Luo L.Hom-Lie superalgebra stuctures on fnite-dim ensional sim p le Lie superalgebras［J］.J.Lie Theory，2013，23：1115-1128.

［6］Yuan J，Sun L，Liu W.Hom-Lie superalgebra structures on in fnite-dim ensional sim p le Lie superalgebras of vector f elds［J］.J.Geom.Phys.，2014，84：1-7.

［7］焦陽，劉文德.Filiform李超代數Ln,m的導子和保積Hom-結構［J］.純粹數學與應用數學，2014，30（5）：534-542.

［10］Fialow skiA.An exam p le of form aldeform ationsof Lie algebra［J］.K luwer Academ ic Pub lishers，1998，130：375-401.

［12］Vergne M.Cohom ologie des algbres de Lie nilpotentes.App lication`a l′tude de la vari`etdes algbres de Lie nilpotentes［J］.Bull.Soc.France，1970，98：81-116.

2010 M SC：17B05

The H om-structu res on Filiform Lie algeb ras Qn

Yu Huanhuan，Liu Wende

（Departm ent of M athem atics，Harbin Norm al University，Heilongjiang 150025，China）

In this paper，we prove that a linear operator on a f nite-dim ensional Z-graded Lie algebra is a Hom-structure if and only if its homogeneous com ponents are Hom-structures.We also com pute homogeneous Hom-structures on a fnite dim ensional Z-graded Filiform Lie algebra Qnover an algebraically closed f eld of characteristic zero.As a consequence，we determ ine all the Hom-structures on Qn.

Filiform Lie algebra，graded structure，Hom-structure

O 151.2

A

1008-5513（2015）02-0156-08

2014-12-23.

國家自然科學基金（11171055，11471090）；黑龍江省杰出青年基金（JC201004）.

于歡歡（1990-），女，碩士生，研究方向：李代數與李超代數.

劉文德（1965-），博士，教授，研究方向：李代數與李超代數.