一類帶小時滯的非線性快慢系統的漸近解

謝英超，程燕，賀天宇

（陸軍軍官學院，安徽 合肥 230031）

一類帶小時滯的非線性快慢系統的漸近解

謝英超，程燕，賀天宇

（陸軍軍官學院，安徽 合肥 230031）

研究了一類帶小時滯的非線性快慢系統的初始值問題，在一定假設條件下，利用奇異攝動理論和校正函數法構造了該問題的形式漸近解，并利用微分不等式理論證明了漸近解的一致有效性.最后進行了算例分析，結果顯示時滯能對快慢系統產生重要影響，并表明所述攝動方法是一個行之有效的近似解析方法.從而，可以利用得到的漸近解對系統的動力學行為進行更深層次地分析與研究.

快慢系統；非線性；小時滯；奇異攝動；漸近解

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.005

1 引言

現在廣泛研究的微分動力系統有很多是快慢系統，其主要特點是具有不同動力學時間尺度的狀態變量［1］.快慢系統已經廣泛應用于自然科學和工程技術各領域中［2-4］，也是學術界研究的熱門話題之一［5-7］.通過無量綱化和引入適當的參數變換，許多實際系統都可以表示成標準的快慢系統［8］.因此，研究快慢系統具有重要的理論價值和現實指導意義.

另一方面，時滯在自然界中是普遍存在的，即使是以光速傳播的信息都不可避免地存在滯后現象［9-10］.研究表明，時間滯后效應會對動力學系統產生非常重要的影響［11-12］，即使時滯量很小，時滯系統也會呈現出新的動力學特性和更復雜的動力學行為［13］.目前，對于帶時滯的快慢系統的研究大多集中于穩定性分析、分岔與慢變流形，而對于其漸近解的研究鮮有報道.為此，本文基于奇異攝動方法和微分不等式理論，研究如下一類帶小時滯的非線性快慢耦合系統的漸近解：

其中x∈Rn、y∈Rm分別稱為系統的慢、快狀態變量，f、g為相應的向量函數，τ＞0為小時滯，ε＞0為小參數，?、ψ為充分光滑的函數.快慢系統是由快變量和慢變量相耦合的系統，在某些區域上會出現邊界層和內部層等奇異現象，故它還是典型的奇異攝動系統，可利用奇異攝動理論和方法對其進行研究.由于系統（1）是時滯微分系統，其狀態空間和解空間都是無窮維的，特征方程又是難以求解的超越方程，故系統（1）的解析解很難求得，當時滯量很小時，數值解運算復雜度高且不便于解析運算，從而尋求其一致有效的漸近解顯得尤為重要，并且具有實際指導意義.

為研究方便，先作如下假設：

［H1］μ=τ/ε=O（1），即τ和ε為同階小量；

［H2］f（t,x,y,?,ω）和g（t,x,y,?,ω）在其變量空間中的某區域?上為充分光滑的函數，且在區域?上，Dyg+Dωg是可逆（即非奇異）的，并存在正常數δ1，δ2使得如下不等式成立

對于行相同的矩陣A=（aij）l×n，B=（bij）l×m，本文定義運算⊕為：

其運算結果為l維向量.易證，對于行相同的矩陣A，B，C，運算⊕具有如下兩條重要性質：

（1）A⊕B=B⊕A；

（2）（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）.

［H3］令ε→0，τ→0，得系統（1）的退化系統為：

可以看出，系統（1）的退化系統為微分-代數系統，假設它滿足初始條件 ?x（0）=?（0）時存在唯一的連續可微解?x（t）=x?（t）和?y（t）=y?（t）.

［H4］引入如下輔助系統

其中x和t看成參數.假設其奇點集M=｛（x,y）：g（t,x,y,x,y）=0｝在區域?上是一致漸近穩定的平衡點，且ψ（0）包含在奇點（x?（0）,y?（0））的吸引域內.

2 形式漸近解

系統（1）-（2）的漸近解可以分為外部解和初始層校正項，故尋求其具有如下形式的漸近解：

其中X（t；ε,τ）、Y（t；ε,τ）為系統（1）-（2）的外部解，設它們的形式為：

式中A（k）=｛（i,j）|i+j=k,i∈N,j∈N｝（k=0,1,2,···），ξ=t/τ為伸長變量，U（ξ；ε,τ）、V（ξ；ε,τ）為系統（1）-（2）的初始層校正項，設它們的形式為：

將（4）式與（5）式代入（3）式，得系統（1）-（2）的形式漸近解的N（N∈N）階漸近展開式為：

2.1 外部解

為方便討論，記z=（x,y）T，zτ=z（t?τ），并按τ展開時滯函數

先不考慮初始層校正項，來求系統（1）-（2）的外部解.考慮到初始條件（2），令t=0代入外部展開式（4），由奇異攝動理論可得

將（4）式和（7）式代入（1）式，按ε、τ展開方程兩邊，合并εiτj的同次冪項，并令方程兩邊的同次冪項的系數相等.由ε0τ0（k=0）的系數相等可得

由假設［H3］可知，系統（9）滿足初始條件x00（0）=?（0）時存在唯一解，且

由εiτj（k=1,2,···）的系數相等可得

式中

由常數變易法可得，線性非齊次系統（11）滿足初始條件xij（0）=0的解為：

式中

將（10）式及（12）式依次得到的解代入（4）式，便得到了非線性快慢系統（1）的外部展開式，但外部解未必完全滿足初始條件（2）式，故還需要構造初始層校正項.

2.2 初始層校正項

因為完全展開式（3）和外部解（4）都滿足系統（1），并考慮到初始條件（2）式，可得初始層校正項必須滿足如下方程及初始值條件

同外部解構造過程相同，將初始層校正項（5）式代入方程（13）及初始條件（14）式，按ε、τ展開等式兩邊，合并εiτj的同次冪項，并令等式兩邊的同次冪項的系數相等.由ε0τ0（k=0）的系數相等可得

由（15）式和（16）式，可得u00（ξ）=0，將其代入（15）式的第二個式子，結合v00（ξ）的初始值條件，通過逐段積分可求得v00（ξ）.在假設條件［H1］-［H4］下，可以證明當ξ→∞時，v00（ξ）是指數型地趨于零的向量函數.由εiτj（k=1,2,···）的系數相等可得

式中

由（17）式和（18）式，通過逐段積分可依次求得（uij（ξ）,vij（ξ））（k=1,2,···）.在假設條件［H1］-［H4］下，利用數學歸納法可以證明，當ξ→∞時，（uij（ξ）,vij（ξ））（k=1,2,···）均是指數型地趨于零的向量函數.至此，初始層校正項構造完畢.

2.3 解的漸近表達式

將確定的外部解和初始層校正項代入（3）式可得，系統（1）-（2）解的形式漸近展開式為：

3 漸近解的一致有效性

定理3.1 在假設條件［H1］?［H2］下，存在ε0＞0和τ0＞0，使得當ε∈（0,ε0］，τ∈（0,τ0］時，系統（1）-（2）在區間［0,T］上存在形如（19）式的漸近解（x（t；ε,τ）,y（t；ε,τ）），且滿足不等式

證明 首先構造如下形式的輔助函數ˉx（t；ε,τ）、x（t；ε,τ）,

（t；ε,τ）和ˉy（t；ε,τ）、y

當t∈［0,T］時，顯然有

對足夠大的r，存在足夠小的正數τ0，使得當τ∈（0,τ0］時，?t∈［?τ,0］，有

下面證明當t∈［0,T］時，有

其中非線性向量算子N1［x,y］=x′?f，N2［x,y］=εy′?g.為方便證明，記s（s∈N+）維向量p為

事實上，將（22）式及（6）式代入（25）式中的第一個不等式的第一個分量，當t∈［t0,T］時，t0為（0,T）之間的任一常數，由奇異攝動漸近理論［14］可得，存在正常數c，κ，使得當τ足夠小時，有

由（26）式，并考慮到（21）式及（22）式可得（20）式成立，從而定理3.1得證.

由定理3.1可得，形式漸近解（19）在t∈［0,T］上關于ρ是一致有效的漸近展開式.

4 算例分析

為驗證上述攝動方法的正確性和有效性，考察如下一類簡單的帶時滯的非線性快慢系統：

利用上述攝動方法，求得系統（27）-（28）的與一階漸近展開式相關的前幾項為：

其中v00（ξ），u01（ξ），v01（ξ）可通過逐段積分求得.故系統（27）-（28）的一階漸近展開式為：

為說明所求得的漸近解具有較高的精度，特將其與由隱式Runge-Kutta法求得的數值解進行比較.圖1是ε=0.01，τ=0.015時漸近解與數值解的比較圖，圖2是ε=τ=0.01時漸近解與數值解的比較圖.由圖1與圖2可見，y（t）的漸近解與數值解非常接近，x（t）的漸近解與數值解有些許差別，但差別都在10-3數量級上，即誤差均在1%以內，且時滯越小漸近解與數值解的差別越小，表明上述攝動方法是求解帶小時滯的快慢系統漸近解的一個簡單而有效的方法.若想得到更高精度的解，可按上述攝動方法，依次得到解的二階、三階甚至更高階的漸近展開式，所求得的漸近解在理論上可以達到任意的精度要求.為考察時滯對快慢系統產生的影響，特作ε=0.01，τ=0（即無時滯）時系統（27）-（28）的狀態圖如圖3.仔細比較圖1、圖2與圖3可得，時滯對快慢系統產生了重要影響，時滯會引起內部層，從而導致振蕩現象的發生，且時滯越大振蕩現象越明顯.

圖1 ε=0.01，τ=0.015時漸近解與數值解的比較圖

圖2 ε=τ=0.01時漸近解與數值解的比較圖

圖3 ε=0.01，τ=0時系統（27）-（28）的狀態圖

5 結束語

本文研究了一類帶小時滯的非線性快慢系統，在一定假設條件下對系統的解進行了探索，利用奇異攝動方法和微分不等式理論得到了系統的一致有效的漸近解，并進行了算例分析.結果表明本文所述的攝動方法是一個行之有效的近似解析方法，并揭示出了即使是小時滯也會對快慢系統產生重要的影響.若是忽略時滯的影響，很有可能導致嚴重的錯誤或偏差，如對精度要求較高的控制系統.不同于數值解，所得漸近解還能繼續進行解析運算.所以，能夠利用得到的漸近展開式對這類系統的動力學行為進行更深層次的分析與研究，從而能更好地將其應用到物理、機械和工程技術等領域中.另外，所述攝動方法對于非線性時滯快慢系統的研究具有一定的參考價值.

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2010 M SC：35B25

A sym p totic solu tion for a class of non linear slow-fast system w ith sm all tim e delay

Xie Yingchao，Cheng Yan，He Tianyu
（A rmy O f cer Academy，Hefei 230031，China）

In this paper，the initial value problem for a class of non linear slow-fast system s w ith sm all tim e delay is considered.Under suitable assum p tions and by using singu lar perturbation theory and the correction functionmethod，the formalasym ptotic solution of the p roblem is constructed.Then，bymeansof the dif erential inequalities theory，the uniform ly validity of the asym p totic solution is proved.Finally，a num erical exam p le is done，whose results reveal that tim e delay m ay have a signif cant im pact on the slow-fast system，and show that the perturbation method is an ef ective app roximate analyticalmethod.Consequently，the behavior of the dynam ic system can be better analyzed and studied by using the asym p totic solution.

slow-fast system，nonlinear，small time delay，singu lar perturbation，asym ptotic solution

O 175.14

A

1008-5513（2015）02-0146-10

2014-12-01.

國家自然科學基金（11202106）；安徽省自然科學基金（1408085MA 06）.

謝英超（1989-），碩士生，研究方向：奇攝動理論及其應用.