部分浸沒懸臂平板的聲振特性

金　暉，朱　翔，李天勻，高　雙華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

部分浸沒懸臂平板的聲振特性

金暉，朱翔，李天勻，高雙
華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

研究水下結構的聲輻射問題時，流體聲介質通常被假設為無限域，然而對于大部分水面海洋結構物，則是部分浸沒在水中，自由液面的作用不可忽略。通過構造反對稱邊界條件來考慮自由液面的影響，采用有限元法結合間接邊界元法研究水中部分浸沒懸臂平板的振動和聲輻射特性。首先，計算懸臂平板在不同浸沒深度下的固有頻率和模態振型，并與已有文獻的算例進行對比分析，驗證該方法的正確性；然后，對半浸沒懸臂板的聲輻射特性進行計算，并討論載荷位置和浸沒深度對平板聲振特性的影響。研究表明：平板在水中的固有頻率隨著浸沒深度的增加而降低；載荷位置對平板輻射聲功率級有影響且和頻率有關；平板輻射聲功率是隨著浸沒深度的增加而增大，低頻段輻射聲功率曲線的峰值隨著深度的增大有向低頻移動的趨勢。

自由液面；間接邊界元；懸臂平板；部分浸沒；有限元

0　引言

板殼以及由其組成的復雜結構是工程領域中常見的結構形式，具有剛度大、重量輕、力學性能好等優點，在船舶、建筑、機械工程和航空航天等領域有著廣泛的應用。浸水薄板結構的聲振特性研究涉及多個學科，其在艦船領域有著極強的應用背景，直接關系到艦船的減振降噪特性，一直以來都是實驗研究和理論研究的熱門課題。

關于板殼結構的振動聲輻射特性，何祚鏞［1］進行了較為系統的研究，主要涉及浸沒在無限流體中的板殼結構。Laulagnet［2］對簡支無障板的聲輻射展開研究，對比了無障板和有障板在不同介質中的輻射特性。陶建成等［3］基于無限大障板上的振動矩形板模型，研究了聲輻射預測中板表面速度的采樣問題。陳美霞等［4］采用有限元+邊界元的方法計算了四邊簡支平板在空氣中和水中的聲振特性，并與有關解析解進行對比，驗證了其合理性和準確性。施衛華［5］采用直接邊界元法研究了無限域三維結構的聲輻射情況。龔強［6］分析了無限大障板和加肋對四邊簡支矩形板振動與聲輻射的影響。

有關部分浸沒在水中的結構的振動和聲輻射研究則相對匱乏。Ergin等［7］對部分浸沒在水中的垂直懸臂板的自由振動進行了分析，并與實驗結果進行了對比。黎勝等［8］采用解析方法，以脈動球為例研究了以自由表面或剛性表面為界的半空間內的聲輻射問題，重點研究了自由表面或剛性表面對結構輻射聲功率和輻射方向性的影響。鄒明松等［9］基于吳有生建立的帶航速三維水彈性理論，采用考慮自由液面效應的理想可壓流體Green函數，提出了帶航速和考慮自由液面的聲介質中三維水彈性結構聲輻射計算方法。李天勻等［10］利用鏡像法和漢克爾函數加法定理分析了存在自由液面有限域輻射聲場中圓柱殼輻射聲壓隨浸沒深度的波動特性。

本文將采用有限元結合間接邊界元（FEM+ IBEM）方法研究部分浸沒平板的聲振特性，以部分浸沒懸臂板為例，計算不同浸沒深度平板的模態和振型，并研究不同浸沒深度和不同載荷位置對平板聲振特性的影響。

1　基本理論

有限元方法（FEM）可以求解復雜流場和溫度場變化梯度對聲傳播的影響，尤其是在封閉空間和無限長管道的聲場計算等方面有著相當的優勢。但由于輻射網格區域不能無限大，所以其在半封閉空間遠場輻射問題上受到限制。

聲學邊界元法分為直接邊界元法（DBEM）和間接邊界元法（IBEM）。DBEM以邊界上的法向速度和表面聲壓作為未知變量，只能單獨計算封閉結構的外部聲場或者內部聲場。IBEM由DBEM推導而來，其未知變量是邊界元網格的聲壓差和聲壓梯度差，要求網格內、外均有聲場，也即可以同時計算內、外聲場，而且其邊界元網格不要求封閉。此外，IBEM的系統方程是由變分原理推導而來，得到的系統矩陣是對稱的，該對稱性使其能更有效地與FEM相結合。所以本文大多采用間接邊界元法。

間接邊界元法要求結構處于無限大流體介質中，而且結構表面兩側都要有流體介質，如圖1所示，S（含Sw和S0）為流固耦合的交界面，Ω1和Ω2分別代表內聲場和外聲場。利用格林公式，在交界面S兩側分別應用DBEM的內外場問題［5］對應的Helmholtz邊界積分方程得到

式中：Y為源點，Y∈S；X為場點，X∈Ω；n為S指向流場的單位法矢量；ρ為流體密度；S0為結構與液體介質接觸的邊界；SY為在Y點的積分元。其中 ：當X∈Ω2時，C(X)=4π；當X∈S0時，當時，S0?nY20C(X)=0。

圖1　與自由液面接觸的結構示意圖Fig.1Structureincontactwiththefreesurface

針對本文中半空間的自由液面問題，表面聲壓P=0，則間接邊界元法對應的格林函數變為

如果結構與自由液面接觸［11］，如圖1（圖中，SW表示結構與自由液面接觸的邊界）所示，則式（1）中的影響系數C(X)變成：

式中，ZX為場點X的z軸坐標值。

間接邊界元的未知變量為聲壓差μ（雙層勢）和聲壓梯度差σ（單層勢）：

由上面的積分系數與表達式可知，有恒等關系式C(X1)+C(X2)=1。根據場點X是否在結構表面上可分2種情況推導出間接邊界元方程。

一般對于薄壁空腔結構或者薄壁結構，Neuman邊界條件最常見，本文假設結構表面滿足Neuman邊界條件，即

從上式可知S兩側的法向速度是連續的，所以σ=0，唯一未知的變量只剩下μ。利用變分原理，定義特定的泛函［12］F(μ)，并令?F(μ)/?n=0即可得系統方程。用該系統方程可求解出聲壓差μ，結合式（1）即可求出聲場中任意場點的聲壓［13］。

2數值計算

本文的數值計算采用有限元結合間接邊界元法，在LMSVirtual.Lab軟件中完成聲振計算，并通過在軟件中設置反對稱面來模擬自由液面的影響。

2.1浸水平板的固有頻率分析

首先分析懸臂板在垂直浸沒水中的固有頻率和耦合模態。本算例中，平板長1 016 mm，寬203.2 mm，厚4.84 mm。材料為鋼，楊氏模量為2.068×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7 830 kg/m3。水中聲速1 500 m/s，水的密度取1 000 kg/m3，空氣中聲速340 m/s，空氣密度取1.225 kg/m3。由于板部分浸沒在水中，需要在自由液面處添加反對稱邊界條件。依次計算不同浸沒深度下板的固有頻率，定義浸沒深度比λ為板的浸水長度d與板高h的比值，如圖2所示，λ依次取為0，0.25，0.5，0.75，1。分別計算了λ=0，0.25，0.5，0.75，1時板對應的耦合模態，前6階模態與文獻［7］中理論解的對比如表1所示（單位：HZ）。

圖2　部分浸沒平板Fig.2 Partially submerged plate

表1　多種浸沒深度比下板的固有頻率對比Tab.1 Com parison of the natural frequency w ith mu ltip le immersion ratios

如表1所示，不同浸沒深度下，本文計算的前6階固有頻率與文獻［7］中對應濕模態的固有頻率吻合很好，驗證了本文方法的正確性。另外，通過對比不同浸沒深度下板的固有頻率可見，同一階的固有頻率隨浸沒深度的增大而降低。這主要是由于浸沒深度增大后，板振動的附連水質量隨之也增大，從而導致耦合系統的總質量增加。

圖3和圖4給出了浸沒深度比λ=0.5時板的前6階干模態和濕模態振型云圖（圖4中僅顯示了水下部分結構的振動模態云圖）。從干模態和濕模態云圖的對比可見，水中平板的低階振動模態與空氣中基本保持了一致。前幾階分別為彎曲和扭轉的模態。

2.2半浸沒平板的聲振特性

初選取半浸狀態，即板長的一半浸入水中，在平板浸沒部分的中心點處添加1 N的載荷，頻率范圍為1～1 000 Hz。本算例中的結構材料為鋼，介質為水，參數同上章的算例一致。在自由液面處添加反對稱邊界條件，并在板外構造ISO聲學場點，采用FEM+IBEM方法計算板的聲輻射特性，計算步長為10 Hz。從計算結果中查看平板的聲輻射。

圖3　前6階干模態振型Fig.3 Drymodalshapewithin sixth-order

圖4　前6階濕模態振型Fig.4 Wetmodalshapewithin sixth-order

圖5中，與平板中部垂直的面就是反對稱邊界條件，載荷點在水下部分的中心點。平板末端附近的ISO聲學場點的聲壓比較大，最高為75.2 dB。

圖5　聲場的聲壓云圖Fig.5 Sound pressure of the field

圖6顯示了平板在水和空氣中ISO聲學場點的輻射聲功率級。由圖可見，在水和空氣這2種情況下的曲線走勢基本一致，但在水中的聲功率級明顯較高，這是由于板受到同樣的激勵時，在水中的輻射阻抗比空氣中的大，因此輻射聲功率也更大。

圖6　聲功率級曲線（水、空氣）Fig.6 Sound power level curves（water，air）

2.3不同載荷位置的影響

下面分析載荷位置對聲輻射特性的影響。分析中，假定板的浸入深度為1/2，即保持半浸狀態不變，載荷大小和頻率與2.2節一致，僅改變載荷的位置。選擇載荷點均位于板寬中央，并在板的高度方向分別選取了距自由端0.25 h，0.5 h和0.75 h這3個不同的載荷點，其中0.25 h載荷點在水中，0.5 h載荷點恰好在水面，0.75 h載荷點離約束端最近，在空氣中。

得到不同載荷點的聲輻射特性如圖7所示，圖中0.25 h load，0.5 h load，0.75 h load分別表示1/4，1/2，3/4高度載荷點。1 000 Hz以內，在高頻部分（600～1 000 Hz），3種載荷點的聲功率級情況較接近，但在中、低頻部分差別較大。在低頻段，載荷點在水面以下（0.25 h點）對應的聲功率級和其他載荷點激勵的聲功率相比偏高。研究表明：在中、低頻段，載荷點位于自由液面以上時的輻射聲功率級要比載荷點位于自由液面以下時的小；而在高頻段，載荷位于自由液面以上時對應的輻射聲功率級和載荷位于自由液面以下時的較為接近，可見載荷位置對輻射聲功率級有影響且和頻率有關。

圖7　 3個載荷點的聲功率級對比Fig.7 Sound power levelof the three load point

為便于對比分析，對3種載荷點前100 Hz內的聲功率進行了細化計算，步長采用2 Hz［14］。細化計算結果如圖8所示，其總體變化趨勢與圖7一致，且3個載荷點在5，25，70 Hz附近分別達到了峰值點。從表1來看，分別對應的是第1，2和4階彎曲振動的固有頻率，激勵頻率和固有頻率吻合，共振形成局部峰值點。

圖8　　　前100Hz聲功率級細化對比Fig.8 Sound power levelwithin 100Hz

2.4不同浸沒深度的影響

上節分析了相同浸沒深度，不同高度激勵點的聲振特性，本節則分析同一個激勵點在不同浸沒深度對應的聲輻射特性。選取激勵點距自由端0.25 h處不變，板的浸沒深度比λ從0.25依次增加到0.5，0.75和1（完全浸沒），計算得到多種浸沒深度的輻射聲功率級曲線。

如圖9所示，4種工況的曲線形狀相似，峰值位置接近，但實際所對應的固有頻率的數值和階數是不同的。以圖9中400～500Hz之間的波峰為例，浸沒深度比0.25，0.5，0.75，1對應的固有頻率分別為491.05，492.05，485.19和491.51 Hz，對應的固有頻率階數分別為15階、16階、18階和19階。

由于步長10 Hz對于低頻部分截斷誤差較大，所以對圖9前100 Hz內的聲功率進行了細化計算，步長采用2 Hz，細化計算結果如圖10所示。從中可看出，λ=1.0的曲線波峰比較明顯，聲功率級最大，其次是λ=0.75，0.5時的，λ=0.25的聲功率級最小。

圖9　不同浸沒深度聲功率級對比Fig.9 Sound power levelof different immersion depths

圖10　前100Hz不同浸沒深度對比Fig.10 Sound power levelwith in 100 Hzof different immersion depths

圖10和圖9中的曲線整體變化趨勢一致。載荷點位于0.25 h處，即λ=0.25時，各頻率下的輻射聲功率與其他載荷點相比相對較小，這是由于此例中激勵點在水面，浸入水下的結構部分小，由振動激勵引起的水下聲輻射也較小，因此在此激勵下板的聲輻射總體上都偏小。與之相對應的，完全浸沒板在同樣激勵下的輻射聲功率則在各個頻率上均最大。從4條曲線的總體趨勢來看，可見輻射聲功率級是隨著浸沒深度的增加而提高的。另外，在低頻段，曲線峰值隨著深度的增大有向低頻移動的趨勢，這與板在水中的固有頻率隨浸深的增大而降低有關。

3　結語

本文利用反對稱邊界條件考慮自由液面的影響，采用有限元法結合間接邊界元法對水中部分浸沒懸臂平板的振動和聲輻射特性進行了分析。

首先，計算了懸臂板在不同浸沒深度下的固有頻率和模態振型，計算得到的固有頻率與文獻［7］中的結果吻合很好，從而驗證了該方法的正確性；并且由于浸沒深度增大后附連水質量也增大，部分浸沒平板在同一階的固有頻率會隨浸沒深度的增大而降低。然后，研究了半浸懸臂板的聲振特性，并進一步討論了不同載荷位置和不同浸沒深度對平板聲振特性的影響。分析表明，載荷位置對平板輻射聲功率級有影響且和頻率有關：在中、低頻段，載荷點位于自由液面以上時輻射聲功率級要比載荷點位于自由液面以下時小，而在高頻段載荷位于自由液面以上時對應的輻射聲功率級與載荷位于自由液面以下時較為接近。當激勵點距板自由端0.25 h位置不變時，平板輻射聲功率級從總體來看是隨著浸沒深度的增加而增大。在低頻段，曲線峰值隨著深度的增大有向低頻移動的趨勢，這與板在水中的固有頻率隨浸深的增大而降低有關。

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［責任編輯：田甜］

Vibration and radiation characteristics of partially submerged plates

JIN Hui，ZHU Xiang，LITianyun，GAO Shuang School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

While studying the underwater acoustic radiation problem，the fluid is usually assumed to be infinite；yet，most marine structures are only partially submerged in water，suggesting that the free surface effect should not be ignored.In this paper，the free surface effect is simulated with an anti-symmetric plane set.The vibration and sound radiation characteristics of partially submerged cantilever plates are analyzed by employing the finite element method combined with the indirect boundary element method.The natural frequencies and mode shapes of the cantilever plate at different immersion depths are first obtained and compared with the actual data，which validates the proposed method.Then，the half-immersed plate's vibro-acoustic characteristics are calculated，on which the impact of different load positions and immersion depths is discussed as well.It is observed that the natural frequency of the immersed plate decreases with the increase of the immersion depth.Also，the load position would influence the sound power level of the plate，and the exact influence is related to the frequency.Plus，the plate's sound power level increases with the increase of the immersion depth，and the peak of acoustic radiation power curve tend to move toward low frequency range as the immersion depth rises.

free surface；indirect boundary elementmethod；cantilever plate；partially submerged；finite elementmethod

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2015.04.014

2014-11-21網絡出版時間：2015-7-29 9:23:46

國家自然科學基金資助項目（51379083）；國家部委基金資助項目

金暉，男，1989年生，碩士生。研究方向：結構振動與噪聲控制。E-mail：jhust08@163.com

朱翔（通信作者），男，1980年生，副教授。研究方向：結構振動與噪聲控制。E-mail：zhuxiang@hust.edu.cn李天勻，男，1969年生，教授，博士生導師。研究方向：結構振動與噪聲控制。E-mail：ltyz801@hust.edu.cn