航天器姿態(tài)跟蹤的非線性離散滑模仿真模型設(shè)計(jì)

溫衛(wèi)斌，付 強(qiáng)，王 芳，肖 媛，王 濤

(1.中國科學(xué)院國家天文臺中國科學(xué)院月球與深空探測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，100012北京;2.北京華云星地科技有限公司，100081北京)

三軸穩(wěn)定剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的任務(wù)是實(shí)時地對姿態(tài)指令進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤，實(shí)現(xiàn)其飛行姿態(tài)的穩(wěn)定控制.期間所需克服的干擾因素有:敏感元件及傳感器漂移等所引起的參數(shù)攝動、發(fā)動機(jī)及噴管偏斜力矩、重力梯度力矩、太陽輻射力矩以及空間微粒碰撞產(chǎn)生的力矩等.以上因素使得航天器姿態(tài)的精確控制成為人們研究的熱點(diǎn).實(shí)際上，航天器姿態(tài)控制是一個典型的非線性耦合問題，傳統(tǒng)的三通道PID獨(dú)立設(shè)計(jì)方法已很難獲得較好的控制性能和動態(tài)品質(zhì).為提高控制性能及設(shè)計(jì)效率，近年來國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者先后將魯棒H∞控制［1］、動態(tài)逆［2］、自抗擾控制［3］、最優(yōu)控制方法［4-5］以及非線性滑模控制方法［6］應(yīng)用于航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，并取得了較好的控制效果.其中，由于滑模控制(sliding mode control，SMC)具有對外部擾動和內(nèi)部參數(shù)攝動較好的魯棒性能，從而在該研究領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)［7］將滑模控制應(yīng)用到姿態(tài)穩(wěn)定控制問題中，并通過求解最優(yōu)控制問題來整定滑模函數(shù)參數(shù).文獻(xiàn)［8］分別以四元數(shù)和修正羅德里格參數(shù)為姿態(tài)參數(shù)設(shè)計(jì)了滑模姿態(tài)跟蹤控制器.文獻(xiàn)

［9］則利用分層滑模控制方法，為帶兩個控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的欠驅(qū)動剛體航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種三軸穩(wěn)定控制器，并驗(yàn)證了該方法的有效性.針對控制受限和角速率受限的剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，文獻(xiàn)［10］則設(shè)計(jì)了在控制量受約束情況下的時變滑模姿態(tài)控制器，較好地消除了系統(tǒng)抖振，且具有良好的魯棒性.

然而，上述研究成果多是針對連續(xù)時間系統(tǒng)進(jìn)行的相關(guān)仿真，在現(xiàn)代航天控制的實(shí)際工程研制與應(yīng)用過程中，相關(guān)的控制算法均由星載計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)，各狀態(tài)量、解算量及控制量在各采樣周期內(nèi)均保持不變，而且由于采樣周期的限制，滑動模態(tài)的各性質(zhì)都將改變，基于連續(xù)時間系統(tǒng)理論及模型所設(shè)計(jì)的滑模控制器往往會導(dǎo)致實(shí)際控制系統(tǒng)不穩(wěn)定，控制性能與理論仿真結(jié)果相比較差.因此，研究航天器的離散姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法具有實(shí)際工程意義.為此，本文首先建立了航天器姿控仿射模型，通過反饋線性化方法對原非線性耦合系統(tǒng)解耦并作離散化處理，并由離散化指數(shù)趨近律推導(dǎo)了離散滑模姿態(tài)控制律.通過仿真驗(yàn)證了該離散控制器的有效性，對系統(tǒng)外干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動都具有良好的魯棒性能.

1 剛體航天器姿態(tài)控制仿射模型

設(shè)航天器的姿態(tài)參考基準(zhǔn)為軌道坐標(biāo)系O，其定義如下，原點(diǎn)位于航天器質(zhì)心，OXO為橫向，OZO指向地心，OYO則指向軌道法向，并與軌道角速度反向.假定航天器姿態(tài)不受軌道影響，則剛體航天器運(yùn)動學(xué)方程可表示為

式中:［γ，θ，ψ］T為航天器相對于軌道坐標(biāo)系O的姿態(tài)角;ωi=［ωix，ωiy，ωiz］T為體系B相對于慣性坐標(biāo)系Ⅰ且表示在B上的姿態(tài)角速度矢量;ωo為軌道角速度;Cbo為軌道系O到體系B的轉(zhuǎn)換矩陣.

剛體航天器的動力學(xué)方程為

其中:J∈R3×3為航天器的對陣正定轉(zhuǎn)動慣量矩陣;表示矢量ωi的斜對稱矩陣;Tc=Te+Tp為三軸控制力矩矢量，由航天器噴管控制力對質(zhì)心的分力矩及發(fā)動機(jī)擺角控制力矩組成，其具體形式為

d=［dx，dy，dz］T為不可建模隨機(jī)干擾力矩;Tg為空間環(huán)境引力梯度干擾力矩:

以上各式中，P為主發(fā)動機(jī)推力;Pγ13、Pγ24、Pθ及Pψ為輔助姿控噴管推力;xc、yc及zc為航天器質(zhì)心位置;li為推力偏心距;Ki為標(biāo)定系數(shù);δ1、δ2為發(fā)動機(jī)擺角.

為方便仿射模型推導(dǎo)，設(shè)姿態(tài)角均為小量，如sinγ≈γ、cosγ≈ 1，同時忽略二階小量;設(shè)體系B為航天器主軸系，則忽略慣性積.認(rèn)為系統(tǒng)的不確定性可用參數(shù)不確定性和外部干擾表示，則可建立如下姿態(tài)控制仿射模型:

式中:狀態(tài)量x=［γ，θ，ψ，ωix，ωiz，ωiy］T，控制輸入u=［Pγ13，Pγ24，Pθ，Pψ，δ1，δ2］T，參考輸出y=［γr，θr，ψr］T為采用簡化模型時的外部合干擾項(xiàng).Δf(x)與 ΔG(x)=［Δg1，Δg2，…，Δgm］，Δg(x)=g(x)(x)分別表示建模不確定項(xiàng)和參數(shù)攝動項(xiàng)，估計(jì)函數(shù)向量(x)、估計(jì)增益矩陣(x)、Δf(x)及ΔG(x)具體形式為

2 航天器離散滑模姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于精確反饋線性化的解耦控制

為推導(dǎo)航天器姿態(tài)跟蹤滑模控制律，需對仿射模型進(jìn)行反饋線性化處理，利用微分幾何方法對非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間進(jìn)行描述.

針對式(1)所示的m維輸入、m維輸出仿射非線性系統(tǒng)模型，若對于每個輸出yi，該系統(tǒng)具有相對階向量ρ=［ρ1，ρ2，…，ρm］T以及 lie 導(dǎo)數(shù)向量，使其滿足:

2)系統(tǒng)狀態(tài)有界:‖Δf‖ ≤fM，‖Δgi‖ ≤giM(i=1，2，…，m).

則可采用微分幾何方法使系統(tǒng)(1)等價于

同時假設(shè)等效干擾［1，2，…，］T滿足有界條件‖‖≤D，則可通過非線性輸入變換得到系統(tǒng)的反饋解耦控制律

進(jìn)而可將式(1)轉(zhuǎn)化為m個簡單的線性動態(tài)方程

式(3)表明，虛擬輸入控制向量v=［v1，…，vm］T是僅作用在輸出上的.

采用上述反饋線性化方法，可得系統(tǒng)(1)的如下Lyapunov微分系數(shù)向量:

非線性解耦矩陣:

其中:

易知，在暫不考慮模型不確定擾動項(xiàng)的情況下，通過反饋線性化方法可將系統(tǒng)解耦為3個獨(dú)立子系統(tǒng)進(jìn)行控制.

2.2 基于飽和型趨近律的離散滑模姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

直接對非線性仿射模型形式的姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行精確離散化比較困難，為便于設(shè)計(jì)離散滑模姿態(tài)控制器，本文考慮對已得到的線性動態(tài)方程式(3)進(jìn)行精確離散化處理.則離散處理后的系統(tǒng)的輸出跟蹤指令可表示為

則原姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)的各解耦子系統(tǒng)的離散化線性表示即為

式中Ad、Bd為任意相鄰采樣周期［kT，(k+1)T］間的離散化狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及增益矩陣，其具體形式:

式(4)中的模型不確定擾動項(xiàng)(k)可歸納表示為(k)=LΔfLhi+LΔgiLfhiui+di(k)，(i=1，2，3).

具體而言，LΔfLhi+LΔgiLfhiui為采用反饋線性化方法時模型參數(shù)不準(zhǔn)確導(dǎo)致的參數(shù)化不確定項(xiàng)，其形式為

為使公式表示清晰，以上各狀態(tài)量及控制量離散采樣值均省略了*(k)的書寫格式.

滑模控制完全依靠控制律中的不連續(xù)切換項(xiàng)來保證系統(tǒng)的魯棒性能，切換項(xiàng)的大小取決于模型不確定的界.設(shè)λ＞0，C=［λ，1］，結(jié)合非線性離散狀態(tài)方程(4)，定義如下線性切換函數(shù):

式中zic(k)為kT時刻的輸出指令.

選取離散化指數(shù)趨近律為

式中ε為切換增益，q為趨近律系數(shù)，均為正實(shí)數(shù)，并滿足1-qT＞0.

綜合式(4)～(6)，可得離散滑模虛擬控制律為

式中子系統(tǒng)切換增益應(yīng)設(shè)置為εi≥Di+ηi，(ηi＞ 0).

在式(7)的作用下，(k+1)T時刻僅考慮外部擾動的切換函數(shù)

為對抖振加以抑制，采用邊界約束正則化方法［11］，以飽和函數(shù)sat(*)替代式(7)中的符號函數(shù)sgn(*)，則式(5)可進(jìn)一步改寫為

結(jié)合式(2)與(9)，可得各通道的離散滑模舵偏控制律為

為使離散滑模姿態(tài)控制器所跟蹤的輸出參考指令更接近實(shí)際情況，在系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑動模態(tài)后，應(yīng)利用相鄰采樣時刻間的輸出指令均值代替kT時刻的輸出參考指令zr(k).

3 離散滑模姿態(tài)控制器性能仿真與分析

為驗(yàn)證該離散滑模姿控系統(tǒng)的控制性能，選取如下航天器結(jié)構(gòu)及狀態(tài)參數(shù):

軌道速度ω0=0.001 055 rad/s;主發(fā)動機(jī)推力P=3 500 N;輔助姿控噴管推力均為P=30 N，為實(shí)現(xiàn)姿態(tài)微調(diào)，其最短持續(xù)時間0.2 s，作用時間不確定;航天器轉(zhuǎn)動慣量及質(zhì)心位置標(biāo)稱值列于表1;標(biāo)定系數(shù)為滿足|Ki|≤0.1的隨機(jī)數(shù).

表1 航天器轉(zhuǎn)動慣量及質(zhì)心位置標(biāo)稱值

參考輸出量初始值γ=3°、θ=5°、ψ=-3°;期望姿態(tài)角γr=0°、θr=1.5°、ψr=0°;初始角速度發(fā)動機(jī)初始擺角δ1=δ2=0°.在仿真中考慮發(fā)動機(jī)噴管擺動的動力學(xué)延遲，并假設(shè)其一階等效模型的阻尼系數(shù)ξ=0.7.

隨機(jī)干擾力矩假設(shè)為

轉(zhuǎn)動慣量不確定部分上限ΔJ≤0.15J.

仿真中各控制參數(shù)設(shè)置為滑模面增益λ1=5.5、λ2=7.2、λ3=6.5;切換增益ε1=0.2、ε2=ε3=0.35，ηi=0.1;趨近律系數(shù)qi=5;邊界層厚度μ=0.05;外界不確定干擾上界D1=0.05、D2=0.065、D3=0.08.由式(7)～ (10)可知，在以上控制參數(shù)確定的情況下，采樣周期T將影響控制系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤性能.仿真結(jié)果見圖1～13.圖1～3所示為不同采樣周期情況下分別對姿態(tài)角指令的跟蹤響應(yīng)對比曲線.從指令跟蹤效果上看，采樣周期越大，采樣時間間隔內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)受到參數(shù)攝動的影響越明顯，因而姿態(tài)角跟蹤精度就越差.而且，采樣周期較大時控制量的不連貫性也會影響對指令響應(yīng)的快速性，甚至產(chǎn)生一定的超調(diào)量.三通道角速率狀態(tài)響應(yīng)對比曲線如圖4～5所示，因離散滑模控制只能產(chǎn)生準(zhǔn)滑動模態(tài)，故隨著采樣周期T的增大，切換帶寬度也會相應(yīng)增大，進(jìn)而會引起系統(tǒng)參數(shù)的抖振，即姿態(tài)角速度在T較大的情況下變化較劇烈，不利于控制精度的保證.

圖6～8為不同采樣周期下，輔助推力及推力擺角的對比曲線，圖中正數(shù)表示脈沖力為順時針作用方向(從航天器尾部或上部方向看).可看出，在切換增益相同的情況下，離散控制器輸出的控制指令受采樣周期影響，較大的采樣周期使得系統(tǒng)控制性能的快速性變差，存在一定的控制滯后現(xiàn)象.

圖1 滾轉(zhuǎn)角指令跟蹤響應(yīng)

圖2 俯仰角指令跟蹤響應(yīng)

圖3 偏航角指令響應(yīng)對比曲線

圖4 角速率狀態(tài)響應(yīng)曲線(10 ms)

圖5 角速率狀態(tài)響應(yīng)曲線(100 ms)

圖6 輔助姿控推力曲線1

圖7 輔助姿控推力曲線2

圖8 發(fā)動機(jī)擺角曲線

圖9～13分別為不同采樣周期下各通道滑模面切換函數(shù)與相軌跡對比曲線，較小的采樣周期T會使切換函數(shù)曲線具有較好的收斂性，進(jìn)而可保證指令跟蹤的精確性要求.反之，T越大，離散時間狀態(tài)的運(yùn)動從初始狀態(tài)出發(fā)到達(dá)切換面的時間越長，模態(tài)收斂速度就越慢，在帶中運(yùn)動時反復(fù)超越理想滑模面的次數(shù)就越多，這便對離散系統(tǒng)的指令跟蹤造成了一定程度的精度損失.可見，采樣周期是影響離散滑模控制跟蹤性能的主要因素，在實(shí)際硬件系統(tǒng)性能允許的范圍內(nèi)，為提高控制器的跟蹤精度，應(yīng)盡可能地減小系統(tǒng)采樣周期.

圖9 滾轉(zhuǎn)通道切換函數(shù)對比曲線

圖10 偏航、俯仰通道切換函數(shù)對比曲線

圖11 滾轉(zhuǎn)通道滑模面相軌跡對比曲線

圖12 俯仰通道滑模面相軌跡對比曲線

圖13 偏航通道滑模面相軌跡對比曲線

4 結(jié)語

本文研究了三軸穩(wěn)定剛體航天器姿態(tài)控制器的離散滑模設(shè)計(jì)方法，建立了姿控仿射模型，通過引入反饋線性化理論將原非線性耦合系統(tǒng)進(jìn)行解耦，并對新的解耦系統(tǒng)模型進(jìn)行離散化處理.將轉(zhuǎn)動慣量及分力矩偏差引起的攝動項(xiàng)作為模型不確定擾動，結(jié)合離散滑模控制原理設(shè)計(jì)了離散滑模姿態(tài)控制律.通過對比仿真分析，驗(yàn)證了該系統(tǒng)對指令跟蹤的魯棒性能，實(shí)現(xiàn)了各通道的解耦控制.

［1］LI C，MA G，SONG B.Spacecraft attitude tracking control based on nonlinearH∞control［C］//Proceeding of 1stInternationalSymposium on Systems and Controlin Aerospace andAstronautics. Harbin:［s.n.］， 2006:395-399.

［2］唐超穎，沈春林，逆系統(tǒng)方法在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.航天控制，2003，12(6):32-36.

［3］馬紅雨，蘇劍波，劉成剛.基于耦合自抗擾控制器的無標(biāo)定手眼協(xié)調(diào)［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003，25(11):1385-1388.

［4］EI GOHARY A.Optimal control of a rigid spacecraft programmed motion without angular celocity measurements ［J］.European Journal of Mechanics，2006，25:854-866.

［5］LUO W C，CHU Y C，LING K V.H∞inverse optimal attitude-tracking control of rigid spacecraft［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2005，28(3):481-493.

［6］CRASSIDIS J L，MARKLEY F L.Sliding mode control using modified Rodrigues parameters［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1996，19(6):1381-1383.

［7］VADALI S R.Variable-structure control of spacecraft large angle maneuver［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1986，9(3):235-239.

［8］ LO S C，CHEN Y P.Smooth sliding mode control for spacecraft attitude tracking maneuvers［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1995，18(6):1345-1349.

［9］王冬霞，賈英宏，金磊，等.欠驅(qū)動航天器姿態(tài)穩(wěn)定的分層滑模控制器設(shè)計(jì)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2013，34(1):17-24.

［10］JIN Y Q，LIU X D，QIU W H.Time-varying sliding mode controls in rigid spacecraft attitude tracking［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21(3):352-360.

［11］楊榮軍，王良明，陳世業(yè).遠(yuǎn)程制導(dǎo)炮彈非線性離散滑模控制器設(shè)計(jì)［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，36(1):137-141.