量測最小分辨率特性下自主相對導航設計方法

周朝霞，任家棟，曾慶雙，黃云鷹

(1.廈門大學嘉庚學院，363105福建廈門;2.哈爾濱工業大學航天學院，150001哈爾濱;3.上海航天控制技術研究所，200233上海)

衛星編隊已不是一個新的概念［1］.自主相對導航是衛星伴飛、空間交會對接、在軌衛星捕獲與維修以及深空探測等任務的關鍵技術之一［2-3］.目前國內外關于自主相對導航的研究成果較多，用于自主相對導航的測量設備主要包括類GPS敏感器、光學相機、微波雷達等，測量設備提供視線距或相對視線角度形式的輸出.相對導航方案大多采用兩星運動方程(CW方程)作為系統方程和EKF構成相對導航系統.

類GPS敏感器自主相對導航方法需要兩星均配置多幅特征天線［4］，差分GPS能夠實現厘米級的導航精度［5］，可用于近距離交會對接段.光學相機的視線角度測量精度高，僅角度量測的相對導航研究較多［6-8］，該方法可觀性弱，收斂性較差，可用于遠距離交會段.文獻［9］中所提到的應用研究較多的自主相對導航方案采用視線距+兩個視線角度形式的微波雷達等測量體制.微波雷達是作為全天候工作的設備，是空間交會任務中普遍使用的相對測量敏感器，角度跟蹤多采用步進電機.研究表明雷達的測量誤差并不滿足高斯分布［10］，測角誤差特性復雜.通常微波雷達相對角度測量直接采用步進電機指向，星間測距采用脈沖延遲計時，量測數據存在明顯的最小分辨率特性，致使導航濾波呈現出周期的振蕩誤差，針對此類特性的相對導航設計方法國內外少有研究.導航濾波的振蕩特性表明系統引入了有色噪聲，本文分析上述現象產生的原因，提出相對導航的改進設計方案，抑制有色噪聲干擾，以進一步提高導航濾波精度.

1 相對導航系統的數學模型

相對運動坐標系定義為參考星軌道系，O為參考星質心，Ox，Oy，Oz分別沿參考星軌道跡向、軌道角動量反方向、徑向.［xyz］T表示參考坐標系下衛星的相對位置坐標，CW方程表示為(ω為參考星平均軌道角速度)

其中:A表示系統的狀態轉移陣;wk表示等效噪聲，滿足Qk=C(wk，wTk).雷達量測方程為

其中:ρ為兩星的視線距;ψ為雷達測量航向角;θ為雷達測量俯仰角;v為雷達量測噪聲，滿足R=E［v，vT］.

式(1)、(2)構成了基于間接測量的相對導航系統［9］.

2 最小分辨率特性下導航特性及分析

通常雷達測距精度15 m(3σ)，測角精度0.15°(3σ)，將真實雷達測量數據接入相對導航系統得相對導航精度為如圖1、2，相對速度精度為 0.03 m/s(3σ).

圖1 相對導航x軸速率濾波誤差

圖2 相對導航z軸速率濾波誤差

事實上，如果雷達測量誤差滿足白噪聲分布，濾波精度(相對速度估計精度優于0.01 m/s)遠高于圖1和圖2的仿真數值，導航濾波的振蕩特性造成了濾波性能的嚴重衰減.

3 雷達測量模型

雷達采用脈沖發送接收時間差量測相對距離(存在由采樣周期決定的最小分辨率特性)，采用步進電機進行角度跟蹤(存在最小步距角決定的最小分辨率特性).定義:雷達的測距分辨率為ρmin;雷達的測角分辨率為θmin.雷達測距分辨率ρmin為15 m，忽略其平滑過程，其距離測量模型為其中:函數ceil()意指向上取整;與雷達熱噪聲、目標閃爍等相關，數據分析得指距離真實值;ρ表示雷達距離測量輸出值.

角度測量模型為

其中:函數floor()意指向下取整，函數ceil()意指向上取整;N表示諧波齒輪傳動比;θstep表示步進電機步長;表示不考慮雷達步進電機驅動機構步距角下的測量值.通常取θmin=θstep/N=0.05°.

針對衛星伴飛橢圓的相對角度的最大值θmax，結合相對運動特性得表1.

分析可見，雷達量測噪聲特性包括常偏和振蕩部分，與理想的0.15°(3σ)的白噪聲分布特性差異較大.振蕩頻率與雷達的分辨率及伴飛構型相關.同時，微波雷達的有效數據更新率較低，但在更新時刻精度較高.

表1 雷達測量噪聲特性分析

4 低帶寬相對導航設計

分析可知，雷達測量誤差包括常偏和周期振蕩兩部分.周期振蕩產生的原因在于振蕩頻率在濾波器的帶寬范圍內.隔離雷達量測的振蕩周期是低帶寬設計工程中常用的手段.

4.1 相對導航帶寬分析及設計

卡爾曼濾波器一步預測狀態1為

則

對上式取期望得:

在穩態情況下，上式形式與離散系統狀態觀測器一致，在理論上說明了卡爾曼濾波器與狀態觀測器間的內在聯系.(A-AkH)的特性即反映了濾波器穩態情況下的帶寬特性.調整增益k可改變濾波系統帶寬，對于卡爾曼濾波系統，同比例增大R陣的效果與同比例減小Q陣等效.本文采用增大R陣實現濾波系統低帶寬設計.

4.2 帶寬對濾波性能影響分析

對于線性定常系統，系統模型有常值偏差，系統模型為

其中Δc是CW方程遞推常值偏差.則

對上式兩邊取期望，

其中‖(A-AkH)‖＜1，上式矩陣冪級數的和收斂，一段時間后將收斂到極限值.

當Δc≠0時，對濾波算法的真實一步預測方差進行分析得:

其中:上標R(real)表示真實的，如PRk+1/k表示濾波結果的真實一步預測方差;Pk/k-1表示濾波算法產生的估計濾波方差.同理，對于觀測誤差

因此，對于穩定的卡爾曼濾波過程‖(AAkH)‖＜1，初值誤差對期望的影響隨著時間慢慢減弱，動力學建模的常值偏差值經過一段時間后收斂在常值，導致濾波值期望有偏.

基于上述推導，圖3和圖4分析了低帶寬設計對系統常值誤差及白噪聲誤差的誤差傳遞特性.易見，系統的常值誤差及白噪聲誤差隨著系統帶寬的降低反比例增加.跟瞄量測的振蕩特性與在軌構型相關，不宜設計統一的系統帶寬，即使針對特性構型，低帶寬設計在抑制量測振蕩特性的同時，導致系統其他誤差特性的放大，難以保證系統的綜合性能.

圖3 帶寬與常偏誤差放大系數演變圖

圖4 帶寬與白噪聲誤差放大系數演變圖

5 自適應導航濾波設計與分析

5.1 自適應算法設計

引入自適應因子，動態調整濾波系統中觀測量的噪聲方差陣，實現觀測量中變增益修正，也是濾波系統克服觀測量存在最小分辨率問題的手段之一.

自適應因子S的引入用于調節微波雷達量測信息對濾波遞推估計的修正.在量測更新情況下，測量信息精度最高，因此取自適應規則為

其中i=1，2，3.

5.2 濾波性能分析

自適應因子的引入等效于改變濾波系統的步長，與帶寬與濾波性能影響分析過程類似，改變濾波系統(式(3))的系統離散時間，由式(4)、(5)得濾波性能影響見圖5、6.易見，系統步長的改變對系統常值誤差及白噪聲誤差的影響曲線波度較緩，隨著系統步長的增加存在邊界約束，引入的綜合系統性能損失較小，可有效改善此類量測誤差的傳遞特性.

圖5 步長與常偏誤差放大系數演變圖

圖6 步長與白噪聲誤差放大系數演變圖

6 仿真分析

雷達模型的測距分辨率為15 m，測角分辨率為0.05°.兩星運行在600 km的太陽同步軌道，距離為10 km，伴飛橢圓為40 m.低帶寬設計(降低15倍)仿真見圖7，自適應變步長設計算法仿真見圖8.

統計仿真結果，三種濾波方法的濾波性能見表2.

表2 三種濾波方法濾波性能比較

低帶寬設計有效抑制了雷達量測振蕩特性，但在伴飛構型邊界處性能無明顯改善，收斂時間達5 000 s.自適應設計收斂性好，基本消除雷達振蕩特性對系統的影響，濾波精度提高一個數量級，達2E-3(3σ).

圖7 低帶寬設計速度濾波誤差

圖8 自適應設計速度濾波誤差

7 結論

本文針對雷達測量存在最小分辨率特性下導航濾波表現出的振蕩特性，建立了準確的雷達量測模型，分析得到了雷達量測的誤差特性，解釋了導航振蕩特性產生的原因.

為了抑制雷達量測的振蕩特性，進一步提高濾波性能，本文提出了自適應改進設計方案，并采用濾波誤差分析方法，理論上分析對比了該方案與工程上常用的低帶寬設計方案的濾波性能.分析表明，低帶寬設計可抑制雷達量測的振蕩特性，但等比例放大標稱系統的常偏及白噪聲誤差，收斂時間變長;自適應設計能夠動態適應量測的不同更新率，較低帶寬設計大幅降低對標稱系統性能損失，有效改善了系統濾波性能.仿真表明，同樣條件下，自適應設計基本消除了雷達振蕩特性對濾波系統的影響，相對速度濾波精度為2E-3(3σ)，較設計前提高一個數量級.

對于地球靜止軌道衛星，軌道周期約增加15倍，雷達量測的振蕩周期同比例增加要求更低的導航帶寬設計.相比而言，自適應方案動態適應量測的不同更新率，具有更廣闊的應用前景.

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