數學思想與認知世界

高兆東

數學歷來被認為是自然科學之王，其根本點在于它的精確性和嚴密性及它所賦予我們的自然美。因此也被稱為是思維的體操，是人類智慧的源泉。要想學好數學，掌握數學，就一定要有嚴密的思維習慣和良好的思維方式。下面我結合初中一元二次方程的內容談談基本的教學思想。

一、一切事物的源泉——存在性

1.已知關于x的方程x2+2（k+1）x+k2=0的兩根之和不小于-4，求k的取值范圍？

解：設關于x的方程x2+2（k+1）x+k2=0兩根為x1，x2

由根與系數關系可知x1+x2=-2（k+1）x1x2=k2

由題意知：x1+x2=-2（k+1）≥-4

=> k≤1

∴k的取值范圍是：k≤1

似乎解題過程無可挑剔，但卻是錯誤的，它忽略了一個根本的要求——根的存在性！我們應該把“兩根之和不小于-4”理解為“首先方程有兩根，且兩根之和不小于-4”，這樣就可以知道還要滿足

二、認識世界的鑰匙——探索性

人類認識事物的過程漫長而復雜，但如果沒有刻意追求的探索精神，那將會一事無成。數學是自然學科中最具有想象力的，許多數學概念的延伸對社會的進步，科技的發展起到了不可估量的推動作用，數學中的探索性是什么呢？

例：已知x1，x2是關于x的一元二次方程（m-1）2x2-（2m-5）x+1=0的兩個實數根。

（2）問x1，x2能否同時為正數，若能同時為正數，求出相應的取值范圍，若不能同時為正數，請說明理由。

解：（1）∵x1，x是方程（m-1）2x2-（2m-5）x+1=0的兩個實根

似乎P的取值為一切實數！其實不然，我們首先要考慮m≠0，且Δ≥0

即（2m-5）2-4（m-1）2≥0且m≠1

從而由P=2m-5，知P的取值范圍是P≤-22且P≠-3

（2）在m≤74且m≠1的前提下，假設存在x1，x2同為正數（假設結論正確，探索結論與條件的關系，力求取得規律）

∴2m-5>0 即m>52

但這與前提不符，因此不存在x1，x2同為正數。從問題的提出到結論的解決，需要我們從概念出發牢牢把握問題方向，研究前后因果，探索其內在聯系，不斷去偽存真，直至得出正確結論，是摸索探索性問題的典型例子。

三、嚴謹的科學態度——完備性

不管在哪個領域，科學的態度就是追求完美，人們也就在追求完美中不斷進步和提高，科學也在不斷追求完美中進步，數學就更是如此，下面讓我們看一個嚴謹的例子。

1.已知三角形的兩邊AB，AC的長是關于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5。

（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

（2）k為何值時，△ABC為等腰三角形？求出這時△ABC的周長？

解：（1）∵AB，AC是x2 -（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根

∴AB+AC=2k+3AB·AC=k2+3k+2

又若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形

那么 BC2=AB2+AC2

即25=（AB+AC）2-2AB·AC

∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25

即k2+3k-10=0

解得：k1=-5，k2=2

k1和k2究竟誰適合要求呢？

首先：方程要有根Δ=（2k+3）2-4（k2+3k+2）≥0

得出1≥0恒成立

其次AB，AC為三角形的邊長，必須要為正數！

故AB+AC=2k+3>0AB·AC=k2+3k+2>0

∴只有k=2適合

∴k值應該為2。

（2）△ABC為等腰三角形，應該有幾種情況呢？

Ⅰ.若BC=5為底邊，則方程有等根

但Δ=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1≠0

這是不可能的。

Ⅱ.若BC為腰，則AB，AC中必須有一者為腰，不妨設AB=5

AB+AC=2k+3AB·AC=k2+3k+2知5+AC=2k+35AC=k2+3k+2

解之得AC=6k=4或AC=4k=3

由于k=3和4，均滿足方程有兩個正根的要求，故都符合題意。

當AC=4時，三邊長為5、5、4，△ABC周長為5+5+4=14

當AC=8時，三邊長為5、5、6，△ABC周長為5+5+6=16

本題從方程的種類、有根情況，有怎樣的實根及直角三角形要求、等腰三角形要求，層層相環，絲絲入扣，有機地結合在一起，而且從等腰三角形腰與底邊的分類，充分體現了考慮問題的周密性和完善性，是數學思想完備性的良好寫照。

當然，教學的思想還遠不止以上幾種，但在初中數學中，我們就能充分體會到如此精彩的思想確實是一種享受，真心地希望學生在學習的同時，能愉快地接受數學思想所給予我們的快樂，從而提高我們學習的興趣和認識事物的動力，從必然王國走向自由王國。

編輯 謝尾合