神圣的物理學球形牛

物理專業的很多學生在他們早年的學習中都會碰到球形牛這個概念。現實世界里的牛即使長得再壯或喂得再飽，也很難長成球形。這樣一來，要想計算物體的體積或面積與其高度之比就是一個很麻煩的問題。但是，學生們了解到，如果假設牛為完美球體，或者說，牛具有球對稱性，這些數字就很容易計算。強加某些潛在的（即使只是近似的）對稱性，難題也能變簡單。

球形牛的教學內容在本科階段并沒有學完，而是一直延伸到物理學的最前沿。在20世紀八九十年代，理論物理學界分裂為兩派，起因就是對類似球形牛但比球形牛復雜得多的對稱性是否具有現實性產生了分歧。弦理論家主張，用單一的數學描述對現實進行統一表達依賴于某些對稱性，但幾乎得不到實驗支持;其他物理學家則認為，理論的角色是預測和解釋實驗，而不是追求自身的數學結構，不管這些結構有多美。對立雙方在過去的10年中開始和解，他們意識到，弦理論家建立的有些精致工具，可以意想不到地用來解決其他問題，甚至有助于解釋實測數據。

最簡單的近似是兩個電子通過交換一個光子而交互作用，近似計算的結果與實驗結果頗為相符。而量子理論認為，電子可以來回傳遞任意數量的光子，如2個、3個，甚至900萬個等。電子和光子之間有微弱的相互作用，因此，每種極其復雜的變異都應該對總振幅有一個適當的數值修正。問題是，即便是第二最簡情形，即交換兩個光子而非一個光子，計算起來已經極其困難。海森堡的一個學生非常勇敢，1936年嘗試計算了一次，出版的公式就印了好幾頁。

第二次世界大戰后，一個名叫理查德·費曼的年輕人接受了這個挑戰。他一邊在紙上亂畫，一邊想象一系列事件（參見第一費曼圖）。圖左和圖右兩條線段代表電子在空間和時間的（向上）運動，通過釋放和吸收一個光子來相互作用;光子攜帶的活力（能量和動量）足以改變每個電子的運動，因此兩個電子向對方施加一個力，將各自推開。費曼用這個框架輕而易舉地處理了兩個電子之間更復雜的相互作用，將兩個電子以各種方式往返交換兩個光子的所有情形草草繪制出來。

2013年后半年，兩位理論物理學家提出了一種被稱為“幅面體”的新計算工具，這標志著物理學中的對稱史翻開了新的一章。幅面體是一類古怪的幾何多面體，處于多維抽象的學空間中，可以快速得出答案，而現在需要算幾百張紙才能做到。最有意思的是，它的力不只是凸顯一些對稱性，也在于舍棄舊的對稱性。這樣一來，就可以指出一條道路，改變我們思考空間和時間的方式。

圖解寓言

20世紀20年代后期，量子理論的偉大締造者維爾納·海森堡、沃爾夫岡·泡利和保羅·狄拉克等人認識到，物理的力是通過交換某些載力的粒子產生的。例如，光子（單個光粒子）就是電磁的載力粒子，電子等帶電粒子相互間通過往返傳遞光子施加電磁力。經過20世紀30年代的發展，物理學家已經想出辦法來粗略計算這類過程的“振幅”，由此知道這些過程發生的概率。

費曼圖成了寓言，每個要素都傳遞一定的信息。一個電子有發射或吸收一個光子的一定概率，正如一個光子有從點A到點B暢通無阻地移動的一定概率一樣。費曼為其圖中的每一種要素找到了對應的數學表達式。手中有了這些簡單的轉化規則，他用30分鐘就解決了困擾世界上頂級理論物理學家幾十年的計算問題。

從此以后，物理學家用費曼圖完成了更為復雜的計算。例如，康奈爾大學的木下東一郎就率先對電子間交換4個光子的結果進行了計算，涉及近900個不同的費曼圖，其理論結果與實驗測量的誤差小于一萬億分之一，是迄今科學史上理論和實測最接近的結果。

對稱性與神來之筆

費曼發明他的圖是為了方便計算電子和光子間的交互作用。在他引用這張圖之后不久，物理學家就把它運用于一組相當不同的交互作用：核力。這種轉變并不總是一帆風順的。一方面，核粒子相互之間的作用力很強，不像電子和光子之間的作用那么微弱。這就意味著需要更復雜的圖，在交互中需要更多的載力粒子，不能再對簡略圖示做些微修正。這些更為復雜的圖在計算振幅時應當比簡圖的權重更大，這就需要考慮無限多的圖。費曼開始產生懷疑，他于1951年晚些時候在寫給恩里克·費米的信中說：“介子理論如果使用了費曼圖，所做的計算不要相信！”

雖然費曼心有疑慮，但其他人仍然在繼續努力。在最早采用費曼圖的學者中，有當時在紐約長島新建的布魯克海文國家實驗室工作的年輕理論家楊振寧和羅伯特·米爾斯。布魯克海文國家實驗室擁有當時功率最高的粒子加速器之一，而楊振寧和米爾斯也正迫切地想弄明白，加速器揭示的核粒子種類和相互作用為什么花樣多得令人頭暈目眩。

1954年，楊振寧和米爾斯重新撿起海森堡在20世紀30年代早期曾經徘徊過的想法：在考慮核作用時，中子和質子似乎無法分辨。它們當然是不同的粒子：質子帶有一個單位的電荷，而中子不帶電。然而，中子和質子似乎以對稱的方式與π介子等其他核粒子相互作用。質子交換中子或者用中子交換質子，似乎根本沒有太大的影響。物理學家把這種無關緊要的差異稱為“規范不變性”。

兩位年輕的物理學家將這種隱隱約約的對稱性提升為一種創造性原理，建立了一個新的核力模型。如果所有的核作用力都必須遵守中子和質子間的對稱性，那會怎么樣？他們發現，只有引入一種新的粒子，這種對稱性才能產生。這種假設的規范粒子的唯一目的（至少楊振寧和米爾斯的計算是這樣的），就是以某種方式撞開其他核粒子，在涉及質子對中子的計算結果中抵消任何可能的偏差。同時，這種散射意味著規范粒子會傳遞力，它是核力的載力粒子，是電磁作用中光子的“表親”。

這是攜帶著復仇的對稱。楊振寧和米爾斯從海森堡的直覺和散射實驗證據中實現了一次大的跳躍，認為中子和質子是精確對稱的。為了保護這種對稱，他們只能設想一種全新的物質，這正好產生了楊振寧和米爾斯一開始就想理解的核粒子之間的作用力。

20世紀70年代中期，粒子物理學家拼接出一個復雜的核力理論，稱其為“標準模型”，其中包含幾種不同的規范粒子。數年之內，他們開始積累膠子的實驗證據（膠子是將夸克束縛于質子、中子和其他核粒子之內的規范粒子）。1983年，歐洲核子研究所龐大的實驗隊伍首先探測到了弱核力（引起核衰變的核力）的規范粒子。曾一度被認為只不過是數學工具的楊—米爾斯規范粒子從此成為我們世界的一部分，也成為潛在對稱性的物理實例。

確定了規范粒子的真實性之后，物理學家需要計算它們的行為，包括具體的散射振幅。實現這一步很艱難。楊振寧和米爾斯對費曼的圖式計算規則做了適度的改動，為保證規范對稱的要求允許規范粒子間直接散射。這看上去簡單，但實際做起來實在頗費腦筋。現在需要將規范粒子形成的閉環加入費曼圖，這種復雜的情況在電子和光子相互作用的圖中不可能出現。

1963年，費曼證明這種閉環會破壞引入規范粒子所強加的對稱性。所以，物理學家只得在計算中添加更多奇怪的數學運算，包括虛構的“鬼”粒子。這些粒子的唯一目的，就是在某些特定類型的費曼圖中跟在規范粒子周圍，最終在把費曼圖加到一起的計算中相互抵消。“鬼”粒子和規范粒子不同，它是數學上的虛構，并不代表真實粒子，有了它就可以將費曼圖應用到楊—米爾斯對稱模型。

結果，在過去的幾十年里，物理學家用這種變通的辦法，在黑板和雜志上畫滿數以百計帶著各種規范粒子和“鬼”粒子的費曼圖，全力應對這一事實：楊振寧和米爾斯引入的對稱性似乎把計算搞得一團糟（見費曼大觀園）。

于是，他們引入另一種被稱為“超對稱”的對稱性，作為一招緩兵之計。乍一聽超對稱有點古怪：先準備兩份所有已知種類的物質，這樣一來每個粒子就有了一個幾乎與自己完全相同的“超伴子”，唯一不同的是它們攜帶的內稟角動量（或稱“自旋”）。所有這些成對的粒子在所有費曼圖中精確抵消，極大地降低了既定計算的復雜性。

然而，即使有了超對稱，任何涉及夸克和膠子的散射振幅的計算還是會讓物理學家陷入笨拙龐雜的圖式計算的泥淖。按照唐納德·拉姆斯菲爾德的說法，費曼圖里至少描繪了三類野獸：有已知的已知者，比如夸克和膠子等確實存在于我們世界中的粒子;還有已知的未知者，比如只存在于物理學家想象中的“鬼”粒子，不代表現實世界中的任何實物;然后就是那些超伴子，也就是未知的未知者。

幾十年的協作搜尋，甚至動用了歐洲核子研究所的大型強子對撞機，竟然還是沒有發現超伴子粒子存在的實驗證據。不過，拉姆斯菲爾德曾經很有底氣地聲明：沒有證據并不一定是沒有證據。我們的宇宙也許確實是由超對稱主宰的，而且所有超伴子總有一天會被發現。但是，它們也可能只是方便的數學假設，是“鬼”粒子的加強版。現在看上去清楚的是，超對稱仍然很方便，我們還舍不得拋棄：它是受喜愛的微觀世界球形牛。

新任務的新工具

尼瑪·阿卡尼·哈米德是普林斯頓高等研究所的一名教授，也是論文被引用次數最多的物理學家之一。盡管他現在才40多歲，但他的論文被引用數已經是理查德·費曼生前所有論文被引用總數的2倍。現在，阿卡尼·哈米德和他以前的學生（也是論文的共同作者）雅羅斯拉夫·特恩卡一起，向每個物理學家計算粒子相互作用時都會碰到的巴洛克藝術般龐雜的計算發起了攻擊。

2013年12月6日，阿卡尼·哈米德和特恩卡在arXiv預印本服務器上傳了一份討論幅面體的論文，觀點很大膽。文中說，他們為費曼圖找到了一個替換，至少可以用來處理載力粒子間直接散射的相互作用（比如說核力）。在超對稱模型內進行對比，新的方法能夠用數行代數式復制其他人絞盡腦汁計算幾百（甚至幾千）個費曼圖才能得到的散射振幅。

阿卡尼·哈米德和特恩卡用他們精致簡約的幾何構型幅面體展示了這種新的計算方法。和費曼的涂鴉不同，他們不在空間和時間內描繪，而是處于一種想象的多維數學空間。圖中的錨點代表粒子動量、自旋和其他變量的坐標，并不是它們在空間中相遇時的位置。

任何散射下，總動量和總自旋都必須守恒。因此，每個幅面體都是由封閉的多邊形構成的，從本質上說，就是由簡單的三角形構成。阿卡尼·哈米德和特恩卡像玩魔術一樣向我們證明（至少在幾個實例中），通過計算相應幅面體的體積，他們得到了和舊方法相同的各種粒子的散射振幅，但不需要那些充滿了閉環和“鬼”粒子的費曼圖。

結果省時省力，令人激動不已。牛津大學的安德魯·霍奇斯和哈佛大學的雅各布·布杰利等物理學家，對幅面體方法異乎尋常的濃縮和簡約驚嘆不已。布杰利說：“這種有效程度令人難以置信。”這是66年前物理學家目睹理查德·費曼用他的圖首次計算時的反應的再現。

幅面體的威力在于將一種對稱性置于另一種對稱性之上。它凸顯的那種對稱性就是振幅本身，而振幅則由動量守恒等最基本的原理限制。交換一個向外的粒子與一個向內的粒子相當于旋轉幅面體，有些旋轉可以保持幅面體不變，就像一個十二面體沿一個軸旋轉特定角度后看上去完全沒有變化一樣。對阿卡尼·哈米德和特恩卡來說，這種整體對稱性（使整個幅面體結構保持不變的旋轉操作）比局部的規范對稱性更重要。

也就是說，他們拋開了某些局部的對稱性。事實上，他們拋開（或者至少未看重）的正是“局域性”這個概念本身。費曼在設計他的圖時假設，當一小塊物質在地點X和時刻t與另一小塊物質相撞，由此發生的所有物理效應都是局部的。費曼并不需要知道每個碰撞發生的精確位置——他在計算振幅時會對所有位置做積分，但他還是假設每個碰撞都發生在時間和空間中的某個局部位置。

而阿卡尼·哈米德對局域性有不同的看法。在他看來，終極獎品是量子引力理論，幅面體只不過是一座營帳。因為量子引力理論可能會從更深的層次和結構解釋空間和時間的出現，他渴望規避對局域性的任何假設，因為局域性的概念已經預先假定了空間和時間的存在。盡管幅面體沒有假定局域性，但它產生的結果遵守局域性：局域性是阿卡尼·哈米德理論框架的發生特征，而不是起始假設。

未來

我可以想象一個分形圖案在眼前展開。在將來的某一天，我們能夠看見幅面體鋪滿了年輕物理學家的黑板（或平板電腦），使他們覺得需要再發明另一種工具來表示數以百計的幅面體計算，就像一個幅面體能表示幾百個費曼圖，一個費曼圖能表示十幾行代數運算那樣。每一代人都要重新評估前輩認為理所當然的對稱性。一位物理學家神圣的球形牛在另一位物理學家看來，是一種低效率的處理方案。

不過，幅面體及其依賴的超對稱仍然是未經證明的猜想。我們知道的是，如果避開局域對稱性而強制整體對稱性，幅面體就能讓物理學家相當輕松地計算復雜的相互作用。即使將來證明了超對稱并不是對我們宇宙的精確描述，幅面體的成功也能表明，自然最基本的力也許受到一個比費曼圖展現出來的結構更深層、更簡單的數學結構的支配。

就這一點來看，幅面體方法讓舊的費曼圖如同20世紀40年代后期那種塞滿房間、密集組建的真空管計算機一樣過時了。幅面體究竟是準確的，還是比較好的對稱性近似（最新的球形牛），物理學家會在未來幾年內搞清楚。他們仍將苦苦思索：應該采用哪些對稱性，如何采用這些對稱性。

大衛·凱撒，麻省理工學院科學、技術及社會項目的項目主任，麻省理工學院物理系高級講師。