從題根式教學(xué)談?wù)n堂教學(xué)設(shè)計(jì)

趙晨

摘 要： 課堂教學(xué)追求高效、簡(jiǎn)潔，是新課程提出的教學(xué)要求.如何從課堂教學(xué)的角度讓教學(xué)變得高效是一直以來(lái)困擾教師教學(xué)的問(wèn)題.作者認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化都不離知識(shí)核心.

關(guān)鍵詞： 題根式 課堂教學(xué)設(shè)計(jì) 函數(shù)模型

新課程數(shù)學(xué)教學(xué)一直致力于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，但是我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力并沒(méi)有減輕，這是什么原因造成的？現(xiàn)在很多學(xué)生覺(jué)得課業(yè)負(fù)擔(dān)很重，覺(jué)得讀書(shū)很累，作業(yè)很多，從而會(huì)引發(fā)厭學(xué)、疲憊、抄作業(yè)等不良情況.究其原因，很大的一個(gè)問(wèn)題就是學(xué)生在頻繁地做同一個(gè)問(wèn)題或是同一類(lèi)問(wèn)題，由于沒(méi)有進(jìn)行歸納總結(jié)，題目稍微變換一下，學(xué)生就以為變成了一個(gè)新題型，從而無(wú)所適從.

筆者認(rèn)為有兩方面原因：其一是教師傳統(tǒng)的觀念沒(méi)有改變，教師很多時(shí)候在教大量的題型，但是有些陳舊的不舍得舍棄、新型的不斷加入，造成學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)更重；其二是課堂教學(xué)不夠精準(zhǔn)、高效，課堂教學(xué)精準(zhǔn)高效依賴(lài)于教師對(duì)于數(shù)學(xué)核心知識(shí)的自建構(gòu)，需要教師選擇核心知識(shí)編制題根為主的課堂教學(xué).

何為題根？題根是一個(gè)問(wèn)題最核心的數(shù)學(xué)知識(shí).很多題目都有一個(gè)“題根”，抓住問(wèn)題的“題根”，看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，其實(shí)題目可以變得很“少”.把一系列問(wèn)題規(guī)范化后就是一個(gè)題目，就像講課時(shí)的例題，課本上的習(xí)題，考卷上的考題，會(huì)場(chǎng)上的討論題或研究題，歸類(lèi)后往往學(xué)習(xí)效果可以事半功倍.筆者列舉一個(gè)題根式教學(xué)的設(shè)計(jì)1：《二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題》，選擇二次函數(shù)設(shè)計(jì)的原因如下：

（1）二次函數(shù)求最值問(wèn)題的重要性

二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻.它與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)結(jié)合，與恒成立問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)知識(shí)、實(shí)際運(yùn)用問(wèn)題、集合等很多模塊的知識(shí)都有著密不可分的聯(lián)系.函數(shù)問(wèn)題往往會(huì)和函數(shù)的最值問(wèn)題掛鉤，而求函數(shù)的最值問(wèn)題往往是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，因此加強(qiáng)這個(gè)部分內(nèi)容的研究意義重大.

（2）學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的現(xiàn)狀

二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中意義重大.尤其是二次函數(shù)求最值問(wèn)題.在求最值的時(shí)候采用配方的方法，不與圖像結(jié)合，死記硬背一些公式，在求最值時(shí)很呆板，經(jīng)常出錯(cuò).

（3）用圖像法尋找二次函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)求函數(shù)的最大值和最小值的意義

配方法在求二次函數(shù)的最值是可以運(yùn)用，但是我認(rèn)為求函數(shù)的最值問(wèn)題，特別是二次函數(shù)，用畫(huà)出圖像，尋找函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，往往是通俗易懂，讓學(xué)生看圖時(shí)往往是一目了然.我在十幾年的教學(xué)中已經(jīng)有了很深刻的體會(huì).

設(shè)計(jì)：應(yīng)用“題根”教育，突破難題教學(xué)設(shè)計(jì)，找到題根，把難題逐步“分解”.

（1）問(wèn)題引入

問(wèn)題：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax +bx+c，集合A={x|f（x）=x}，且f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值分別為M和m，求：（1）A={1，2}且f（0）=2，求M和m的值；（2）A={1}且a≥1，記g（a）=M-m，求g（a）的最小值.

（2）問(wèn)題實(shí)質(zhì)

這道題目的第二步學(xué)生解決起來(lái)非常困難，其實(shí)它的實(shí)質(zhì)是一個(gè)二次函數(shù)求最值的問(wèn)題，我們可以把題目轉(zhuǎn)化為：f（x）=ax +（1-2a）x+a（a≥1），求f（x）在[-2，2]上的最大值M和最小值m.

（3）題由根生

題根：①求函數(shù)f（x）=x -x-2在區(qū)間[-2，2]上的最值；②求函數(shù)f（x）=ax -ax-2在區(qū)間[-2，2]上的最值；③求函數(shù)f（x）=x -ax-2在區(qū)間[-2，2]上的最值.

（4）畫(huà)出圖像，尋找最高點(diǎn)和最低點(diǎn)

畫(huà)出圖像，觀察點(diǎn)離開(kāi)對(duì)稱(chēng)軸的距離，判斷函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，就是函數(shù)的最大值和最小值.

（5）問(wèn)題擊破

f（x）=ax +（1-2a）x+a（a≥1），求f（x）在[-2，2]上的最大值M和最小值m，分析對(duì)稱(chēng)軸x= =1- .

說(shuō)明：從表面上看，本題貌似存在兩個(gè)參數(shù)，討論起來(lái)很困難，事實(shí)上它的對(duì)稱(chēng)軸范圍可以得到，很容易判斷在區(qū)間上哪個(gè)點(diǎn)最高和最低.

（6）重視題根

一道綜合題往往可以分解成幾個(gè)小題，只要找到題根，挖掘題根，才能“枝繁葉茂”，才能“開(kāi)花結(jié)果”，課堂教學(xué)效率才會(huì)大大提高.

教學(xué)的設(shè)計(jì)2：y=x+ 模型應(yīng)用設(shè)計(jì)

對(duì)勾函數(shù)是高中重要函數(shù)模型，新生對(duì)于函數(shù)模型的學(xué)習(xí)、掌握并不非常扎實(shí)，我從2013年湖北高考文科的一道選擇題出發(fā)，主要講述兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：其一是如何分析實(shí)際應(yīng)用題的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式；其二是分析數(shù)學(xué)模型中的一種特殊形式：y=x+ 的應(yīng)用.

（1）模型回顧

先簡(jiǎn)單回顧現(xiàn)階段我們主要學(xué)過(guò)的函數(shù)模型類(lèi)型，然后引入本課的正題：y=x+ 型函數(shù)模型.為了更好地講述該模型，先通過(guò)幾何畫(huà)板分析函數(shù)y=x+ 的特點(diǎn)，主要對(duì)a分大于0，小于0，以及等于0的幾種情況分析其單調(diào)性，從而為后續(xù)中在哪里取到最值做好準(zhǔn)備.然后通過(guò)兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用題說(shuō)明該模型類(lèi)型的應(yīng)用.

（2）實(shí)例數(shù)學(xué)化

例題：（2012江蘇高考）建立平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程為y=kx- （1+k ）x （k>0）表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)，（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它，請(qǐng)說(shuō)明理由.

說(shuō)明：通過(guò)該例題，首先引導(dǎo)學(xué)生如何審題，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀，繼而在導(dǎo)出關(guān)系式后，找到函數(shù)模型y=x+ （a>0）在此題中的應(yīng)用，讓學(xué)生把實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言及數(shù)學(xué)符號(hào).最后對(duì)本微型課進(jìn)行小結(jié)，主要還是從兩方面入手，一是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題的閱讀和歸納，二是如何對(duì)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化和應(yīng)用.

（3）自主小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生對(duì)于應(yīng)用型問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，分析很多數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題均有著高中數(shù)學(xué)重要函數(shù)模型的背景，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷訓(xùn)練和總結(jié)，不斷歸納和探索題根.

總之，函數(shù)模型是高中數(shù)學(xué)最典型、最重要的數(shù)學(xué)運(yùn)用于生活實(shí)際的典型，題根式教學(xué)設(shè)計(jì)在于將數(shù)學(xué)知識(shí)整合教學(xué)提升到了一個(gè)新的高度，有助于增強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性和實(shí)效性.諸如本文函數(shù)題根為例，在高考中函數(shù)模型的考查依舊是數(shù)學(xué)與生活相連考查最密切的地方，教師教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)于函數(shù)模型題根的觀察、訓(xùn)練和總結(jié)，有助于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中提高通過(guò)現(xiàn)象觀測(cè)本質(zhì)的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]宋衛(wèi)東.從生“動(dòng)”到生動(dòng)，詮釋思維品質(zhì)的提升[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月考，2013，5.

[2]方厚石.函數(shù)教學(xué)詮釋思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊，2014，1.