壓縮映射原理在數列極限中的應用

李紅英

摘 要： 壓縮映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通過對考研中數列極限的典型例題的解析，歸納總結出適合壓縮映射原理求極限數列的一般形式，展示壓縮映射原理在解決遞推數學列極限中的優越性.

關鍵詞： 壓縮映射原理 極限 遞推數列

壓縮映射原理是著名的波蘭數學家Stefan Banach在1922年提出的，它是整個分析科學中最常用的存在性理論，應用非常廣泛，如隱函數存在性定理、微分方程解的存在唯一性.這里我們主要研究壓縮映射原理在數列極限中的應用.許多參考資料都講過這個方面的應用，如文獻[1-3].在前人的基礎上，筆者結合自己的教學體會，系統歸納總結了壓縮映射原理在一類遞推數列極限中的應用，進一步展示其優越性.

1.基本概念和定理

為了結構的完整和敘述的方便，我們給出文獻中的幾個概念和定理.

定義1.1設（X，ρ）為一個度量空間，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得？坌x，y∈X，有ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），則稱T是X到X的一個壓縮映射.

定理1.2（壓縮映射原理）設（X，ρ）為一個完備的距離空間，T是X到X的一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點，即存在唯一的x∈X，使得Tx=x.

事實上，這兩個結果在一般的實數R上也成立，有如下結果.

2.應用

類型一：直接應用定理型

下面我們看一道競賽試題.

由于壓縮映射原理在許多教材中沒有給出，但其實用性很強，因此在教學過程可以補充給出，讓學有余力的學生自己查閱相關文獻.這類題目常見于考研試題和競賽試題，只要出現迭代數列形式，就可以嘗試利用壓縮映射原理來考慮，問題的關鍵是確定函數是否為壓縮函數，同時一定要注意函數的定義域.我們可以把這類問題歸結為如下形式.

類型二：先轉化再應用型

這類問題中雖然沒有明顯的迭代條件，但可以先考慮通常的方法，如單調有界定理、柯西收斂逐準則及夾逼定理等，也可以嘗試往壓縮映射原理條件上去湊，或許有意外的收獲.以上幾個例子都是數列極限中常見的典型例題，但幾乎所有的教學參考書籍都沒有提及利用壓縮映射原理解決該問題，事實上，利用該方法解決上述例題更簡潔.數學分析中很多問題的解決都得益于把已知條件往解決方法原理的條件上“湊”，這種“湊”是一種技巧、策略，它是解決數學分析中問題的常見策略，初學者需要仔細體會.

數列極限的求解方法多種多樣，每種方法都有其條件要求和適用范圍，需要靈活運用.壓縮映射原理也不例外，在應用是時一定要注意條件的驗證，同時要注意其使用范圍.

參考文獻：

[1]徐新亞，夏海峰.數學分析選講[M].上海：同濟大學出版社，2008（8）：9-17.

[2]陳守信.數學分析選講[M].北京：機械工業出版社，2009（9）：1-8.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006（4）：32-60.

[4]張恭慶，林源渠.泛函分析講義（上冊）[M].北京：北京大學出版社，2006（12）：4-8.

基金項目：貴州省教育廳自然科學基金資助（黔教科2010086）。