銳角三角函數內容解讀

朱紹志

銳角三角函數是初中數學的重要內容，掌握銳角三角函數的概念及性質更是學好解直角三角形的關鍵，因此學習時應注意掌握以下幾個要點：

一、 銳角三角函數的定義

研究銳角三角函數的定義，是將銳角放在直角三角形中，用直角三角形的邊之間的比值來定義的. 即如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，則

溫馨提示：

（1） 弄清“對邊”“鄰邊”“斜邊”的含義，這是理解定義的基礎. 如在Rt△ABC中，∠C=90°，對∠A來說，BC是對邊、AC是鄰邊，而對∠B來說，BC是鄰邊、AC是對邊，無論怎樣，“邊”一定要分清.

（2） 為了記憶方便，可以用口訣進行記憶，即“正弦等于對比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對比鄰”.

（3） 從定義可以看出，銳角三角函數的值是隨著角度的變化而變化的，當角度固定不變時，無論邊怎樣變，三角函數的值是確定的.

（4） 三角函數的符號是一個整體數學符號，不能看成是sin和A相乘的關系，而是“∠A的正弦”，同加減乘除一樣，相當于一個運算符號.

二、 特殊角的三角函數值

任意角的三角函數值都可以利用計算器求得，但對于特殊角（即30°、45°、60°）的三角函數值應當熟練掌握，這樣便于運用它們進行計算、求值或解直角三角形. 常用的記憶方法有三種：

1. 列表法，就是利用課本上的表格記憶，如下圖表格.

2. 尋找規律法，從課本表格中尋找數字間的規律熟練記憶. 如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次為而余弦值正好反過來；30°、60°的正切值是互為倒數. 為了記憶方便，可以用口訣進行記憶，即“正弦123，余弦321，正切313”.

3. 圖形推導法，當記憶不準確時，如圖2可在含有特殊角的直角三角形中利用定義進行推導.

溫馨提示：特殊角的三角函數值有兩層含義：（1） 由特殊角的度數可得它的三角函數值；（2） 根據特殊角的三角函數值，可求得它的度數.

由于∠A，∠B均為銳角，因此∠A=60°，∠B=60°，則∠C=60°，故選B.

三、 學會利用“數形結合”探究性質

由銳角三角函數的定義，利用“數形結合思想”可得以下幾個重要性質：

1. 增減趨勢：當0°<α<90°時，sinα、tanα隨著角度α的增大而增大；cosα隨著角度α的增大而減小.

如圖3，在Rt△A3BC中，∠C=90°，若設∠BA3C=α，當A3向A2、A1移動時，α增大，這時A3B變小，而BC不變，則sinα的值增大；

當A3向A2、A1移動時，α增大，這時A3C變小，而BC不變，則tanα的值增大；

若設∠A3BC=β，當A3向A2、A1移動時，β減小，這時A3B變小，而BC不變，則cosβ的值增大.

2. 根據三角函數的定義結合圖形，還可以得到如下的性質，同學們可以自主探究.

（1） 取值范圍：

如果0°<α<90°，那么00.

（2） 比較大小：

①同名銳角三角函數值的比較，如果0°<α<β<90°，那么sinαcosβ，tanα

②不同名但同角的銳角三角函數值的比較，如果0°<α<45°，那么sinαcosα.

（3） 同角三角函數間的關系：

①平方關系：sin2α+cos2α=1；

②倒數關系：tan（90°-α）·tanα=1；

③商式關系：tanα=.

（4） 互余兩角的三角函數間的關系：cos（90°-α）=sinα，cosα=sin（90°-α）.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實驗學校）