建筑與數學

孫偉剛

早在19世紀，建筑中的數學已經進入了人們的視野. 建筑需要美，美源于和諧，和諧要用數學來創造. 20世紀瑞士著名建筑師勒·柯布西耶說：“幾何形體用幾何滿足我們的雙眼，用數學滿足我們的理解.”

1. 胞體幾何在建筑中的應用

胞體幾何原理：①能夠無間隙拼連的單一的正多邊形只有三種：正三角形、正方形、正六邊形（如圖1）.

②通過“拉伸”或“壓扁”，等腰三角形、長方形、扁六邊形，也能以單一個體無間隙鑲嵌（如圖2）.

③用不同的正多邊形來拼鋪整個平面，但每一個交叉點周圍的正多邊形種類和順序都相同，叫做半正鑲嵌圖. 半正鑲嵌圖有8種（如圖3）.

應用舉例：“水立方”（奧運游泳館）表皮 Skin盡管每個元泡形狀不同，但交點都是三條邊相交的“Y”形（如圖4）.

又如：美國偉大的設計學家巴克敏斯特·富勒（1895-1983）是第一個運用六邊形和五邊形構成的球形薄殼建筑結構，做成能源耗費極低，強度卻很大的建筑物，后來這種結構被廣泛運用，現代運動的足球，就是運用這個結構所制造（如圖5）.

2. 拓撲幾何在建筑中的應用

拓撲幾何原理：一個幾何圖形任意“拉扯”（就像畫在橡皮上），只要不發生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓撲變形”. 兩個圖形通過“拓撲變形”可以變得相同，則稱這兩個圖形是“拓撲同構”. 如圖6中，前三張圖屬于拓撲同構，但第（4）張圖與前三張不同構.

拓撲幾何就是研究幾何圖形在一對一連續變換中的不變的性質，而不考慮幾何圖形的尺寸、面積、體積等度量性質和具體形狀的改變.

應用舉例：歐美小住宅和中國四合院的拓撲結構不同，前者與球同構，后者與輪胎同構（如圖7）.

又如德國數學家莫比烏斯（1790-1868）在1858年發現了拓撲的經典——莫比烏斯曲面，他將一個長方形紙條的一端固定，另一端扭轉半周后，把兩端黏合在一起 ，得到的曲面就是莫比烏斯帶（如圖8）. 像 2010年世博會丹麥館（如圖9）的造型就是莫比烏斯帶. 哈薩克斯坦新國家圖書館（如圖10）也是以莫比烏斯圈的形式將圓形、環形、拱形和圓頂形融合在了一起.

3. 克萊因瓶在建筑中的應用

克萊因瓶原理：一個瓶子底部有一個洞，現在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進入瓶子內部，然后和底部的洞相連接. 三維空間中的克萊因瓶（如圖11），沒有“內部”和“外部”之分，它是由德國數學家菲利克斯·克萊因（1849-1925）首先提出的. 這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結. 一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去.

應用舉例：克萊因瓶別墅（如圖12），是一棟位于澳大利亞摩林頓半島的別墅. 這棟海濱別墅由澳大利亞McBride Charles Ryan建筑師事務所設計，曾獲2009年度世界建筑節“最佳住宅”提名獎.

又如中國2010年上海世博會委內瑞拉國家館（如圖13）外觀如“莫比斯環”，其三維立體結構被稱為“克萊因瓶”，意為一個沒有邊界的、連續的閉合曲面；外部與內部相融會，比喻城市如同一條不間斷的道路. 館內的露天庭院、上升臺階、傳統的土著居民生活空間、開闊的玻利瓦爾廣場等極具民族特色的元素相互融合，展示委內瑞拉的文化、藝術和生活.

在古希臘和文藝復興時期，建筑師往往都是數學家，如君士坦丁堡（今伊斯坦布爾）的圣索菲亞大教堂是由兩位小亞細亞數學家伊西多魯洛斯和安泰繆斯負責設計的，而劍橋大學三一學院圖書館則是由英國數學家雷恩設計的.

如今，建筑師與數學家集于一身的情形已不多見，但并不意味著建筑與數學分道揚鑣，駐足欣賞北京水立方的華麗、國家大劇院的驚艷、上海體育館的飄逸等等，我們分明在享受建筑中的數學之美.

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學）