解直角三角形不可忽視的問題

陳學

解直角三角形是初中數學的重要內容，是聯系代數和幾何的橋梁，也是為高中進一步學習三角函數打好基礎，但不少同學初學某些性質、概念，因為理解不清晰，因此常常犯以下錯誤.

一、 忽視正弦、余弦的有界性

例1 計算 - cos40°+.

【錯解】原式=-cos40°+sin50°-1

=sin50°-sin50°-

=-.

【分析】應注意銳角三角函數的取值范圍，即：

00. 且在0<α<45°內，cosα>sinα；在45°<α<90°內，cosα

【正解】原式=cos40°-+1-sin50°

=sin50°-sin50°+

=.

二、 函數值與邊長大小無關

例2 在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大100倍，那么銳角A的正弦值（ ）.

A. 擴大100倍

B. 縮小為原來的

C. 沒有變化

D. 不能確定

【錯解】A.

【分析】誤認為銳角的三角函數值隨著各邊長擴大100倍，其也擴大100倍. 實際上，銳角A的三角函數值只與它的度數有關，與其所在的直角三角形的大小無關，即只要銳角A的度數確定，其三角函數值也隨之確定.

【正解】C.

三、 概念理解不清

例3 如圖1，甲在60米高的大樓上A點看地面C點的乙的俯角為30°，則乙到大樓的距離CB為______米.

【錯解】∵從A點看地面C點的乙的俯角為30°，

∴∠CAB=30°，

∴CB=ABtan30°=20（米），即乙到大樓的距離CB為20米.

【分析】在上面的解題過程中，由于對俯角的概念不清楚，錯將俯角認為是∠CAB，而實際上俯角的定義是視線和水平線的夾角，即∠DAC=30°，故正確答案是60米.

四、 勾股數的誤用

例4 在直角三角形中，∠B=90°，a=3，b=4，求邊長c的值.

【錯解】由勾股定理得，c===5.

∴c=5.

【分析】在上面的解題過程中，習慣于3，4，5是一組勾股數，c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中，而本題∠B=90°，∴b是斜邊，故正確答案是c==.

五、 忽視雙直角三角形

例5 已知在△ABC中，∠A=30°，AB=40，BC=25，則S△ABC=______.

【錯解】如圖2，過點B作AC的延長線的垂線，垂足為D，

∵∠A=30°，AB=40，

∴BD=20，AD=20，

又BC=25，∴CD=15，∴AC=20-15，

∴S△ABC=×20-15×20=200-150.

【分析】因為已知條件是“角、邊、邊”，根據學過的全等三角形的知識，我們知道，只具備“角、邊、邊”不能確定一個三角形，也就是說還有另一個三角形，即如圖3的情況.

易知此時S△ABC=200+150，

正確答案為S△ABC=200±150.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實驗學校）