巧用銳角三角函數(shù)定義解幾何題

孫翔

銳角三角函數(shù)是初中幾何的重要內(nèi)容，是解直角三角形的基礎(chǔ)，利用銳角三角函數(shù)定義解題，往往使計(jì)算方便簡(jiǎn)潔.

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB于點(diǎn)D，求∠BCD的三個(gè)三角函數(shù)值.

【分析】求∠BCD的三個(gè)三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清其定義，由于∠BCD是Rt△BCD的一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)定義，僅一邊BC是已知的，此時(shí)有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD和CD，二是把∠BCD轉(zhuǎn)化成∠A，顯然走第二條路較方便，因?yàn)樵赗t△ABC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)定義即可求出答案.

解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A.

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB==10，

∴sin∠BCD=sinA==，

cos∠BCD=cosA==，

tan∠BCD=tanA==.

【評(píng)注】運(yùn)用三角函數(shù)定義解題的關(guān)鍵是：確定所求的角所在的直角三角形，準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)的公式. 本題也可利用相似求出BD、DC，再利用三角函數(shù)定義直接求解.

例2 如圖2，在△ABC中，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求∠ADC及AB的長(zhǎng).

【分析】要求∠ADC的度數(shù)，可先求∠ADE的度數(shù)，而求出∠ADE的三角函數(shù)值即可求出∠ADE的度數(shù). 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，構(gòu)造出直角三角形，利用三角函數(shù)的定義即可求出∠ADE的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的定義求AB.

解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)ED=x，則有AE2=AD2-DE2=AC2-EC2，

∴52-x2=72-（x+3）2，解得x=，

所以ED=，

故cos∠ADE==，

所以∠ADE=60°，即∠ADC=120°，

又AE==，

所以AB==.

【評(píng)注】恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出直角三角形是利用三角函數(shù)的定義解決問(wèn)題的一個(gè)重要方法. 同時(shí)要注意與勾股定理、相似等知識(shí)綜合使用.

例3 如圖3，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=AC，CE=BC，求證：∠1=∠2.

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，分別求出∠1與∠2的三角函數(shù)值來(lái)說(shuō)明它們之間的關(guān)系.

證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)AC=BC=3k，則CE=k，CD=BE=2k，AB=3k，

∵∠B=45°，

∴EF=FB=k，AF=2k，

∴tan∠1===，

tan∠2===，

∴tan∠1=tan∠2，

∴∠1=∠2.

【評(píng)注】用三角函數(shù)來(lái)證（解）幾何問(wèn)題，是把幾何變換和復(fù)雜的推理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算，常可使題中各種量之間的關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了. 在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)多注意這種方法的應(yīng)用. 注意在解題中常需作垂線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）