借助幾何畫板探究對勾函數

張偉俊

九年級下學期，同學們在學習一次函數、反比例函數之后，又研究了二次函數. 此時的你已經積累了一定的研究函數的方法和經驗. 但是，當大家面對一個陌生的函數時，你能否運用已有的研究函數的方法和經驗去研究它呢？這是一個非常有意義的問題！為此，筆者設計了一節數學綜合與實踐課《借助幾何畫板探究對勾函數的圖像和性質》，讓同學們認識到“面對任何一個陌生的函數，都可以運用已有的思路、方法去研究它”.

具體的探究方案如下：

1. 學前先思，激活經驗

回顧學習研究一次函數、反比例函數、二次函數的過程，總結研究函數的思路和方法，思考：面對一個陌生的函數，你將從哪些方面對它展開研究？你的方法是什么？

（設計意圖：在學習新知之前，以問題的形式，引導大家回顧總結研究函數的一般思路和方法，激活已有知識和經驗，生成解決問題的新智慧. ）

2. 創設情境，提出問題

（1） 問題背景：若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值. 我們可以設矩形的一邊長為x，面積為S，則S與x的函數關系式為：S=-x2+x（x>0），利用函數的圖像或通過配方均可求得該函數的最大值.

（2） 提出問題：若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？

（設計意圖：通過創設問題情境，讓同學們在運用已有知識、經驗解決問題的過程中提出新問題，并為類比原有解決問題的策略解決新問題埋下伏筆.）

3. 類比學習，建立模型

若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：y=2x+，且x>0. 于是，問題就轉化為研究該函數的最大（小）值了.

（設計意圖：期望同學們能類比原有解決問題的策略，從實際問題中抽象建立數學模型，努力通過對數學模型的求解而解決實際問題. ）

4. 自主探究，分析問題

（1） 實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數y=2x+（x>0）的圖像：

（2） 觀察猜想：觀察該函數的圖像，猜想當x=______時，函數y=2x+（x>0）有最______值（填“大”或“小”），是______.

（3） 推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數S=-x2+x（x>0）的最大值. 你能通過配方求函數y=2x+（x>0）的最大（小）值嗎？

（設計意圖：以問題為載體，引領大家從“形”與“數”兩個角度，自主探索，獨立求解新函數的最值.）

5. 合作探究，解決問題

（1） 小組合作交流，分享經驗，共探疑難. 小組成員先分別介紹自主探究過程中的收獲，提出自主探究過程中的疑問，然后共同分析疑難問題.

（2） 全班展示交流，相互補充，共同完善. 各小組代表匯報小組交流達成的共識，以及還未解決的問題，然后共同解決疑難問題.

（3） 同學們在交流的過程中，還可以通過引發深思的追問，觸及問題的本質，激發思考，并有意識將問題拓展延伸.

（設計意圖：通過小組合作學習，互相追問，深化同學們對問題的本質理解.）

6. 運用技術，拓展研究

借助幾何畫板探究對勾函數y=ax+（a，b為常數，且a≠0，b≠0）的圖像和性質.

（1） 按照從特殊到一般的順序，用控制變量法探究對勾函數的圖像，感受a，b對函數圖像和性質的影響.

（2） 用極限的思想，體會對勾函數y=ax+（a，b為常數，且a≠0，b≠0）與正比例函數y=ax（a為常數，且a≠0）、反比例函數y=（b為常數，且b≠0）之間的關系.

（3） 當a>0，b>0時，作出對勾函數y=ax+的圖像，并寫出你發現的性質.

（設計意圖：當大家在借助幾何畫板探究陌生函數的性質時，應按照從簡單到復雜、從特殊到一般的順序展開，逐步觸及問題的本質. 同時，也滲透了研究問題的方法和思路.）

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）