在錯(cuò)誤中學(xué)到更多

彭利民

統(tǒng)計(jì)與概率是中考必考的知識，它主要是以實(shí)際應(yīng)用問題為載體展現(xiàn). 同學(xué)們常會(huì)感到初學(xué)并不困難，可一旦遇到具體問題，卻時(shí)常出錯(cuò). 本文就以統(tǒng)計(jì)與概率解題中幾個(gè)易混淆的問題為例予以剖析，以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、 對頻率、概率的理解有誤

例1 如果事件A發(fā)生的概率是，那么在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)，下列敘述中，正確的是（ ）.

A. 說明做100次這種試驗(yàn)，事件A必發(fā)生1次

B. 說明事件A發(fā)生的頻率是

C. 說明做100次這種試驗(yàn)中，前99次事件A沒發(fā)生，后1次事件A才發(fā)生

D. 說明做100次這種試驗(yàn)，事件A可能發(fā)生1次

【錯(cuò)誤解答】B.

【錯(cuò)解成因】在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)m稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率. 由此可見，頻率跟試驗(yàn)的次數(shù)有著直接的關(guān)系，試驗(yàn)的次數(shù)不同，得到的頻率也可能是不同的. 故B錯(cuò)誤.

【正確解答】只有選項(xiàng)D是正確的，符合頻率與概率的意義.

【方法規(guī)律】審題時(shí)一定要分清頻率、概率的意義. 概率是等可能條件下事件發(fā)生的可能性大小，它是由該隨機(jī)事件的本質(zhì)所決定的，與試驗(yàn)條件及次數(shù)無關(guān). 而在相同條件下，如果試驗(yàn)次數(shù)足夠多，那么試驗(yàn)的頻率得到相對穩(wěn)定的值，可利用這個(gè)值來估計(jì)該事件發(fā)生的概率.

二、 對推斷、決策的選擇有誤

例2 某商場連續(xù)7個(gè)月統(tǒng)計(jì)了A、B兩種品牌冰箱的銷售情況，并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖.

（1） 分別求這7個(gè)月中，A、B兩種品牌冰箱銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)和方差；

（2） 對該商場今后的進(jìn)貨情況提出你的建議.

【錯(cuò)誤解答】（1） 由計(jì)算可知：=14，A種品牌冰箱銷售量中位數(shù)為14，S2 A=4.3；=14，B種品牌冰箱銷售量中位數(shù)為15，S2 B=18.6.

（2） 由于=，S2 A

【錯(cuò)解成因】由于=，無法通過平均數(shù)作出推斷，接下來最容易想到的就是方差，發(fā)現(xiàn)S2 A

【正確解答】建議（2）解答如下：從折線圖來看，B型冰箱的月銷售量呈上升趨勢，若考慮增長勢頭，進(jìn)貨時(shí)可多進(jìn)B型冰箱.

【方法規(guī)律】處理數(shù)據(jù)時(shí)除了要學(xué)會(huì)分析平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)外，還要全面觀察、分析圖形，從而作出正確的推斷，特別是折線統(tǒng)計(jì)圖不但能反映數(shù)量的多少，而且能清楚看出數(shù)量增減的變化情況.

三、 對等可能性的理解有誤

例3 將一枚骰子先后擲兩次，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率.

【錯(cuò)誤解答】拋擲兩枚骰子，所能得到的基本事件（即所得的點(diǎn)數(shù)之和）有：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共11種情形，而點(diǎn)數(shù)之和為6的情況只有1個(gè)，所以P（點(diǎn)數(shù)之和為6）= .

【錯(cuò)解成因】雖然出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和確實(shí)是只有11種情形，但這些情況不是等可能的，且有些點(diǎn)數(shù)之和的情況也不是1個(gè)，故上述解法錯(cuò)誤.

【正確解答】用列表法如下：

∴共有36種等可能的情況，其中所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的有5種，∴P（點(diǎn)數(shù)之和為6）=.

【方法規(guī)律】本題考查的是概率的求法. 如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=. 特別注意，只有在所有等可能事件中才能使用概率計(jì)算公式P（A）=進(jìn)行計(jì)算. 而借助樹狀圖、列表法可以不重復(fù)不遺漏地列舉出所有等可能的情況，可避免犯類似的錯(cuò)誤.

四、 有無放回問題的理解有誤

例4 已知紅色和藍(lán)色在一起可配成紫色，現(xiàn)有三種顏色紅、白、藍(lán)，從中任意取出兩種顏色來配紫色，問： 能配出紫色的概率是多大？

【錯(cuò)誤解答】用列表法如下：

∴共有9種等可能的情況，能配出紫色的有2種，∴P（配出紫色）=.

【錯(cuò)解成因】沒有考慮到：在紅、白、藍(lán)三種顏色中，任意取出兩種顏色時(shí)，不能取出兩個(gè)相同的顏色，這等同于“無放回問題”，這樣導(dǎo)致列舉出的等可能事件總數(shù)產(chǎn)生錯(cuò)誤.

【正確解答】用列表法如下：

∴共有6種等可能的情況，能配出紫色的有2種，∴P（配出紫色）= .

【方法規(guī)律】本題需要注意在閱讀題目時(shí)，要正確獲取題中的信息. 在以后解決類似的問題時(shí)，需要分清題型是屬于“有放回”還是“無放回”問題，在這兩種不同的情況下，得到的所有等可能情況是完全不同的.

五、 有序與無序的理解有誤

例5 袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球和2個(gè)綠球. 先從袋中摸出1個(gè)球后放回，混合均勻后再摸出1個(gè)球. 求第一次摸到綠球、第二次摸到紅球的概率.

【錯(cuò)誤解答1】畫樹狀圖得：

∵共有4種等可能的結(jié)果，第一次摸到綠球有2種情況，由于放回，第二次摸到紅球也有2種情況，

∴P（第一次摸到綠球）==，P（第二次摸到紅球）==.

【錯(cuò)解成因】審題不清，題目中的“第一次摸到綠球、第二次摸到紅球”是指一個(gè)事件，不能把它當(dāng)成兩個(gè)事件來求.

【錯(cuò)誤解答2】畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結(jié)果，摸到一綠球一紅球的有8種情況，

∴P（第一次摸到綠球、第二次摸到紅球）==.

【錯(cuò)解成因】摸球模型中分有序與無序，不可混淆. 由題目的摸球過程知：摸球的過程是有序的，故第一次摸到綠球、第二次摸到紅球與第一次摸到紅球、第二次摸到綠球是兩種不同的情形，上述解答忽視了摸球的有序性.

【正確解答】畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結(jié)果，第一次摸到綠球、第二次摸到紅球的情況有4種，

∴P（第一次摸到綠球、第二次摸到紅球）==.

【方法規(guī)律】分析題目時(shí)要仔細(xì)觀察，有序關(guān)心的是摸的過程，先A后B和先B后A 是兩個(gè)不一樣的過程；而無序只關(guān)心摸的結(jié)果，不必關(guān)注先A后B還是先B后A，最終得到的結(jié)果都是A和B，不分先后.

小試身手

1. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1 000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（ ）.

A. B.

C. D. 無法確定

2. 擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5. 小剛將一枚均勻的硬幣擲了100次，可是出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)卻不是50次，他很納悶，請你幫他解釋一下為什么.

3. 一個(gè)家庭有3個(gè)孩子，求這個(gè)家庭中有2個(gè)女孩和1個(gè)男孩的概率.

4. 為了從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加今年六月份的全縣中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，每個(gè)月對他們的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行一次測驗(yàn)，如圖是兩人賽前5次測驗(yàn)成績的折線統(tǒng)計(jì)圖.

（1） 分別求出甲、乙兩名學(xué)生5次測驗(yàn)成績的平均數(shù)及方差；

（2） 如果你是他們的輔導(dǎo)教師，應(yīng)選派哪一名學(xué)生參加這次數(shù)學(xué)競賽. 請結(jié)合所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識說明理由.

5. 王強(qiáng)與李剛兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時(shí)，做拋骰子（均勻正方體形狀）實(shí)驗(yàn)，他們共拋了54次，出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)的次數(shù)如下表：

王強(qiáng)說：“根據(jù)實(shí)驗(yàn)，一次試驗(yàn)中出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為5的概率最大. ”

李剛說：“如果拋540次，那么出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)正好是100次. ”

請判斷王強(qiáng)和李剛說法的對錯(cuò).