此題概率是1/3，還是1/2？

程軍

一、 從一個故事說起

歷史上曾經有一個著名的例子，拋擲兩枚均勻硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況. 法國數(shù)學家達朗貝爾（D’Alembert，Jean Le Rond，1717-1783）認為總共有3種可能情形，即（正，正），（反，反），（一正一反）. 由此，他得出結論，P（一正一反），而有人就提出反對意見，認為一正一反包含先正后反和先反后正，P（一正一反）. 聰明的小讀者一定想知道，誰的結論正確呢？問題的關鍵在于對等可能性的正確理解！請讀者慢慢往下看.

二、 你理解等可能性嗎？

說到等可能性，同學們一定覺得沒有什么新奇，很平常，似乎現(xiàn)在課本出現(xiàn)的習題都理應屬于“等可能性”類型，甚至認為“等可能性”自然成立.

等可能性：一個試驗所有可能的結果有限個（無限個），每次只出現(xiàn)其中的某個結果，而且每個結果出現(xiàn)的機會都一樣，那么稱這個試驗的結果具有等可能性. 等可能性包含兩層含義：（1） 所發(fā)生的結果為有限個（無限個），每次試驗有且只有其中一個結果出現(xiàn)；（2） 每個結果出現(xiàn)的機會均等. 下面舉例說明.

【舉例1】拋硬幣（質地均勻）出現(xiàn)正面朝上和反面朝上的機會均等，是等可能事件. 一般在重大比賽中（如世界杯足球賽），主裁會通過拋硬幣的方式讓雙方隊長選擇攻方、守方場地，簡單公平.

【舉例2】摸彩球（質地均勻）各種顏色的彩球出現(xiàn)的機會均等，是等可能的. 在中國體彩搖獎的時候，各種數(shù)字的彩球出現(xiàn)的機會是一樣的，這樣開獎的形式是公平的.

親愛的小讀者，不要以為我們遇到的事件都是等可能的，生活和學習中，有好多結果是不具有等可能性的.

【舉例A】在一定條件下，種植一粒油菜籽觀察它是否發(fā)芽，這個試驗有兩結果：A=“發(fā)芽”；B=“不發(fā)芽”，由于發(fā)芽的因素比較復雜，A和B的發(fā)生機會一般不均等，所以它們是不具有等可能性的.

【舉例B】拋擲一個圖釘，這個試驗有兩結果：C=“釘尖著地”，D=“釘帽著地”，由于圖釘質量分布不均勻，出現(xiàn)這兩個事件往往也不是等可能的. 小讀者可以自己試驗一下.

【舉例C】在一個不透明的袋子中放1個紅球和2個白球，從中任意摸出一個球，E=“摸出的是紅球”，F(xiàn)=“摸出的是白球”，則E和F發(fā)生的可能性是不相等的，顯然摸出白球的可能性要大.

【思考】同學們，在上述摸球游戲中，把三個球標號為紅1號，白2號，白3號，則事件G=“摸到1號”，H=“摸到2號”，I=“摸到3號”，這三個事件的發(fā)生卻又是等可能的！不等可能性在一定條件下可轉化為等可能性.

現(xiàn)在再來解決本文開始的問題. 拋兩枚硬幣確實只有三種情形，即正正、反反、一正一反，但這給出的3種情形不是等可能的. 第3種結果（一正一反）是由兩種結果產生的，即可以是第一次拋出正面、第二次拋出反面，或是第一次拋出反面、第二次拋出正面，實際是4種情形：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正），而這4種情形是等可能的. 故P（一正一反）.

三、 等可能條件下的概率含義及計算

同學們，初中階段我們遇到的概率題基本上是等可能條件下的，這種類型也叫古典概型（古典概型的最主要的特征之一是事件結果出現(xiàn)的等可能性）. 如果一個試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現(xiàn)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率為，其中，m表示A事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結果數(shù)，n表示一次實驗所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù).

問題1 （2013·江蘇常州）一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同.

（1） 從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率是多少？

（2） 從箱子中隨機摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

【分析】（1） 袋子中共有3個球，抓到每個球是等可能的. A=“出現(xiàn)白色”，A發(fā)生的可能結果有2種（共2個白球），一次實驗所有可能的結果是3種，故P（摸出一個球是白色）；（2） 第一次摸球，雖然顏色只有2種（非紅即白），但抓到紅球和抓到白球不是等可能的，在這種情況下，要畫出樹狀圖，一般做法是把白球標號為白1和白2，這樣三個球地位對等，也就是說，抓到紅球、抓到白1、抓到白2，這三個事件是等可能的.

解：（1） ∵共有3個球，其中2個白球，

∴隨機摸出一個球是白球的概率為；

（2） 畫樹狀圖如下（圖1）：

B=“兩次出現(xiàn)白球”，B出現(xiàn)的可能結果2種（即白1、白2；白2、白1），一次實驗總共可能的結果有6種，故P（兩次摸出的球都是白球）.

【拓展延伸】解答完上述問題，愛動腦的小聰和小明一致認為，課堂上老師講的樹狀圖，從一個結點出發(fā)的“樹枝”所對應的事件是等可能的，當然很好理解. 但小聰想每次出現(xiàn)的球非紅即白，如果畫出如圖2的樹狀圖來，顯然與等可能性相違背. 主要原因是出現(xiàn)紅、白的結果不是等可能的，但若畫出粗細不均的“樹枝”，以體現(xiàn)紅、白的可能性大小，不就是等可能的了嗎？（小聰畫出了圖3）小聰并解釋第一次摸，“出現(xiàn)白球的可能性”和“出現(xiàn)紅球的可能性”，這兩個事件是等可能的. 同理第二次摸，也是如此. 小明沉思了好久，認為小聰言之有理，并很快列出算式：P（兩次摸出的球都是白球）. 聰明的小讀者，你能理解小聰?shù)南敕▎幔?/p>

問題2 一只螞蟻在如圖4所示的樹上覓食，假如螞蟻在每個岔口都會隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是多少？

【錯解回放】多數(shù)同學畫出如圖5的樹狀圖，螞蟻共有7種不同的路徑，其中C4，B6兩種走法能獲得食物，故P（螞蟻獲得食物）.

讀到這里，同學們知道，這一結論是錯誤的！

【分析】顯然，螞蟻到達各樹梢末端的可能性不等！如圖4，從第二層D、C、B開始向下，事件發(fā)生的結果數(shù)依次是，D下有3種，C下有2種，B下有2種，數(shù)目不等，故這些事件不是等可能的. 對概率的計算，同學們往往忽視“一次實驗中，各種結果發(fā)生的可能性相等”這一重要條件.

【解決辦法】請小讀者思考下面問題：①螞蟻爬到樹枝AD上，它能得到食物嗎？②若增減D的樹枝數(shù)，螞蟻得到食物的概率是否相等？③你能把螞蟻到達各樹梢末端的可能性化為相同嗎？由于螞蟻爬到樹枝AD上，無論D點有幾個分支，都得不到食物，所以增減D點樹枝數(shù)，螞蟻得到食物的概率相等. 現(xiàn)在有辦法了，只要刪減D樹一根，變成兩枝（圖6），這樣螞蟻到各樹梢的可能性就相等了. C4，B6兩種得到食物，一次實驗共有6種結果，故P（螞蟻獲得食物）. 讀到這里，小聰又想到了上面特殊的樹狀圖（圖7）（粗細不均的樹枝），列出下列算式，P（螞蟻得到食物）.

等可能性是一種理想狀態(tài)，是一種假設. 目前同學們接觸到的概率題大多數(shù)是等可能事件的概率題，隨著進一步的學習，同學們會在學習和生活中遇到很多非等可能性事件的概率問題. 望同學們善待“等可能性”這一特殊的朋友.

請小讀者用心做下面的練習.

1. 下列說法正確嗎？為什么？

（1） 某籃球運動員投籃一次，因為只有兩種可能的結果，不是“投中”就是“未投中”，故P（投中）=P（未投中）=.

（2） 袋子中裝有黃豆、綠豆、豌豆3種豆子，隨手拿出一顆恰好是豌豆的概率是.

2. 拋兩枚普通的正六面體骰子，A=“點數(shù)之積為偶數(shù)”，B=“點數(shù)之積為奇數(shù)”，則點數(shù)之積為偶數(shù)的概率大還是點數(shù)之積為奇數(shù)的概率大？