高等代數教學方法探討

繆應鐵

摘 要： 作者根據多年的教學實踐經驗，就教學方法與講課技巧進行探討并談談體會，旨在為高等代數教學提供新的方法與思路。

關鍵詞： 高等代數 代數思想方法 教學過程

高等代數作為數學專業的一門重要基礎課，其主要內容為代數的基本知識與基本理論，目的是培養學生的抽象思維能力與邏輯推理能力。學生在數學系的基礎課程中，對高等代數的學習是比較困難的。其原因一方面在于這門課本身很抽象，另一方面是這門課在大一開設，而學生的學習習慣、思維方式還是中學期間固有的方式，所以面對高等代數內容的高度抽象性，學生在學習方法、思維方式上存在諸多不適應，因此教學方法與技巧是很重要的。教師應努力鉆研教法，注重數學思想、數學方法的滲透，引導學生盡快適應高等代數的學習，逐步培養他們的抽象思維及邏輯推理能力。

一、介紹代數學的基本思想，優化教學效果，達到教學目的。

在高等代數教學中，注重介紹代數學的基本思想方法。數學方法有技巧性的數學方法，有邏輯性的數學方法，還有宏觀性的數學方法，本文主要討論的是這種宏觀性的方法。這種方法是影響代數學發展的全局性方法，主要包括公理化方法、結構化方法等，簡單介紹如下：公理化方法：高等代數從數、多項式、矩陣、幾何向量、函數等具體的數學對象中，抽象出它們關于各自加法和數乘共同滿足的八條運算律，把八條運算律作為公理給出線性空間的定義，從而線性空間這一概念就不是一個任何具體形式的數學對象，而是滿足八條公理的抽象的代數系統，再由線性空間的定義以八條公理為唯一的依據，推出線性空間的其他性質和定理，由于公理系統是一個邏輯演繹系統，因此對培養學生的邏輯思維能力和演繹推理能力都有其重要意義。線性空間是學生遇到的第一個公理化的定義，在這之后，高等代數中的線性變換、歐氏空間、雙線性變換等概念都是用公理化的方法引進的。結構化方法：結構思想方法是在集合論的基礎上從數學的整個全局出發，把數學看成一個大系統，在當代數學思想理論的指導下，利用現代形式的公理方法，對整個數學依其結構的特征做了重新整理，從宏觀上使其系統化和條理化。由此可見，結構思想方法的提出，把公理化方法推向更高的階段，從而為數學方法論揭開了新的一頁，高等代數在線性空間“歐氏空間”等章節中都用到結構化方法。所謂高等代數中的結構化方法是，依據代數系統的公理、研究系統中元素之間的關系、系統的生成方法、系統和子系統的關系、系統的分類等。例如：在線性空間一章中，除了從公理出發研究加法與數乘的運算性質外，還借助由加法和數乘兩種運算確定的線性相關性研究向量之間的關系，向量組之間的關系，線性空間的生成，基和維數；研究子空間及其交、并、和與直和，最后引入同構映射，介紹向量空間的比較辦法和按維數分類辦法。

二、對課程作適當調整，強化教學效果。

近世代數作為高等代數的后繼課是由歷史演變形成的，不是由課程的難易程度決定的，事實上，高等代數中許多內容并不比近世代數容易，比如，群、環、域是抽象的代數體系，線性空間也是抽象的代數體系，而且它是特殊的模；從授課內容上看，近世代數只講到一些群、環、域的基本概念、基本性質、子體系、商體系，而高等代數中講到線性空間時所研究的內容深入得多，比如線性空間的分解、線性變換的標準形等理論。而從方法論的角度看，任何數學知識中都包含一定的數學方法，在獲得知識的同時，必然會接觸數學方法。從學生認識的角度看，認識規律為從易到難，從簡到繁。綜合上述理由，設想對高代的課程安排，可進行適當調整，把近世代數中講到的基本概念和群、環、域的基本知識安排在線性空間、線性變換等內容的前面，用公理化思想方法進行統一的組織安排，系統地介紹代數學的基本思想方法，然后用統一的代數學思想方法講授高等代數中的線性空間等抽象的代數系統，才能真正理解高等代數中的線性空間等抽象的內容。

三、補充典型例題，提倡一題多解。

基本概念的理解、吃透、基本理論的掌握及應用都可通過做題實現。為此，教師可選擇一些有代表性的，典型的綜合試題作為例題介紹給學生，最好是一題多解。每道數學題總含有一些數學概念，解題過程就是深入理解有關基本概念和基本定理，運用一些基本方法，從已知推向未知的過程。因此，講解時應注意講清解題的思路、想法、把自己的分析過程也一并講給學生聽。解題之后，再有意識地對例題進行剖析，如這個題包含哪些概念，運用哪些基本定理或公式，有沒有其他解法，應注意哪些問題。這樣做不但能加深對原題的印象，對鞏固概念、定理和基本方法也是很有幫助的。一題多解，還可使學生從不同角度認識一個問題，對學生開闊思路，掌握更多解題技巧，逐步提高解題能力等都有好處。這種方式如果在一個單元結束后進行，則效果更為顯著。

四、教學中應加強代數思想方法的滲透與培養。

高等代數內容中體現了很多數學思想方法。如利用等價關系進行分類的思想方法，同構的觀點和方法，化標準形的方法，構造性證明，以及存在性證明的思想方法。這些數學思想方法要在教學中有意識地加以滲透，提醒學生注意整理、比較，做到潛移默化，使學生逐步理解這些思想方法并會加以應用。如利用等價關系進行分類的思想方法在高等代數中反復出現，矩陣在初等變換下的等價關系，在合同變化下的合同關系，在相似變化下的相似關系都是等價關系。利用合同關系還可對復數域及實數域上的二次型進行分類。又如同構的觀點和方法，它是代數學中一種重要的思想方法。在高等代數中多次出現，一般數域p上的n維向量空間v與p同構，從而把一般n維向量空間向量間的線性關系問題轉化為討論p中n維向量的線性關系。這種抓住特例推廣到一般的方法，以及把復雜問題轉化為簡單問題的方法是代數以致整個數學的基本思想和方法之一。數域p上n維向量空間V的所有線性變換所成集合L（V）與p上全體n階矩陣所成集合M（P）在給定基之下是同構的，這樣線性變換與矩陣就可看做是同一事物的兩種表現形式，在相關的討論中二者可相互替代。

五、充分利用高等代數的特點，培養學生的數學能力。

傳授知識與培養能力都是教學的目的。通過高等代數的學習，應培養學生如下的能力：計算能力、閱讀教材能力、表達能力及抽象思維與邏輯思維能力。任何課程，都是以知識為載體，能力的獲得與提高都是通過知識的獲得實現的。但知識的傳授并不等同于能力的培養，教師在講課時的示范分析十分重要，如講授定理時，教材上的定理證明不會寫出為什么如此考慮之類的分析，那么教師就應有意識地剖析定理的內涵及外延。從已知條件、結論等方面做出具體分析，講清證明思路，思考過程，讓學生體會證明方法的核心思想，引導學生得到完整的論述和證明，以此培養學生的邏輯思維能力。總之，能力的培養不是一朝一夕的，只有在整個教學過程中一點一滴，循序漸進，才能水到渠成。

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