拓展例題，舉一反三

葉華茂

概率知識在近幾年中考中所占分值在10～15分之間，題型豐富，載體形式多樣，以考查應用數學知識解決實際問題的能力為主.下面就以課本上的摸球實驗為概率模型，介紹幾種常見的概率試題，以供同學們參考.

【例題】一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出一個球.求兩次都摸到紅球的概率.

【解析】畫樹狀圖（如圖1），由樹狀圖可知共有9種等可能結果，兩次都摸出紅球的情況數有4種，故P（兩次都摸到紅球）= .

拓展一：說理判斷

一只不透明的袋子中，裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同.

（1） 小明認為，攪勻后從中任意摸出一個球，不是白球就是紅球，摸出白球和紅球是等可能的，你同意他的說法嗎？為什么？

（2） 攪勻后從中一把摸出兩個球，如果摸出兩個紅球，則小明得1分，否則小剛得1分，你認為這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由.

（3） 攪勻后從中任意摸出一個球，要使得摸出的白球概率為 ，應如何添加白球？

【分析】（1） 分別求出摸到白球與摸到紅球的概率，比較這兩個概率，即可知道哪一種情況的可能性大，概率大則可能性就大；（2） 考查了樹狀圖法或者列表法求概率，解題時要注意此題為不放回實驗；（3） 考查了借助方程思想求概率的問題，解題的關鍵是找到等量關系.

解：（1） 不同意小明的說法，因為摸出白球的概率是 ，摸出紅球的概率是 ，因此摸出白球和摸出紅球不是等可能的.

（2） 攪勻后從中一把摸出兩個球，相當于摸一個球后不放回再摸第二個球，樹狀圖如圖2，P（兩個球都是紅球）= = < ，故這個游戲對雙方不公平.

（3） 設應添加x個白球，由題意得 = ，解得x=3，經檢驗，x=3是原方程的解，所以應添加3個白球.

【點評】此題考查了對概率問題的理解，還考查了用列表法或樹狀圖法求概率，同時涉及方程思想的應用.解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.

拓展二：修改規則

一只不透明的布袋里裝有3個白球，這3個球分別標有數字1、2、3，這些球除數字以外其他都相同.小聰和小明玩摸球游戲，游戲規則如下：先由小聰隨機摸出一個球，記下球的數字后放回，攪勻后再由小明隨機摸出一個球，記下球的數字.若數字之和為偶數，則小聰勝，否則小明勝.請你利用畫樹狀圖或列表法分析游戲規則對雙方是否公平.若公平，請說明理由；若不公平，請你對本游戲設計一個對雙方都公平的游戲規則.

【分析】依據題意畫出樹狀圖或列表，然后分別求出兩種情況發生的概率，相等則公平，否則就不公平.修改游戲規則，關鍵要使游戲雙方取勝的機會相等，即雙方取勝的概率相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等，此題答案不唯一.

解：這個游戲規則對雙方不公平.

列表如下：

由表格可知，共有9種等可能的結果，其中和為偶數有5種，和為奇數有4種.則P（小聰勝）= ，P（小明勝）= ，所以這個游戲規則對雙方不公平.

設計的游戲規則不唯一. 例如：增加一個標有數字5的球，兩人同時摸出一個球，記下球的數字，若數字之和為偶數，則小聰勝，否則小明勝.

【點評】本題是一道策略開放題.試題一改傳統的命題方式，注重將基礎知識與應用相結合，加大了解決問題能力的考查力度，體現了“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”.

拓展三：設計方案

一只不透明的袋子中，裝有大小和外形都相同的6個小球，球上面依次標有數字1、2、3、4、5、6.

（1） 攪勻后從中任意摸出一個球，摸出球上數字為奇數的概率是多少？

（2） 請你用這個裝有小球的袋子設計一個摸球游戲（各球上標有的數字不變），使攪勻后從中任意摸出一個球，摸出球的數字的概率為 ，并說明你的設計理由.

【分析】（1） 先求出奇數數字在整個袋中數字所占的份數，再根據概率的求法可知.

（2） 由摸出球的數字的概率為 ，可以自由設計，具有開放性.

解：（1） 攪勻后從中任意摸出一個球，摸出球的數字為1，2，3，4，5，6的機會是均等的，故共有6種均等的結果，其中球上數字為奇數1，3，5有3種結果，故P（摸出球上數字為奇數）= .

（2） 攪勻后從中任意摸出一個球，摸出球的數字不大于4的情況有4種，則P（摸出球的數字不大于4）= .（方案較多，不唯一）

【點評】本題考查概率的求法，也是一道開放性問題，又是數學知識應用的方案設計問題，有利于數學思維能力和思維品質的培養.

拓展四：遷移方法

在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學習小組做摸球實驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統計數據：

（1） 請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近________.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________.

（3） 試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只.

（4） 解決了上面的問題，小明同學猛然醒悟，過去一個懸而未決的問題有辦法了.這個問題是：在一個不透明的口袋里裝有若干個白球，在不允許將球倒出來數的情況下，如何估計白球的個數（可以借助其他工具及用品）？請你應用統計與概率的思想和方法解決這個問題，寫出解決這個問題的主要步驟及估算方法.

【分析】先根據表中的數據，估計出摸到白球的頻率，利用摸到白球的頻率即可求出摸到白球的概率，即可求出口袋中白顏色的球有多少只.

解：（1） 頻率具有穩定性. 觀察表格得摸到白球的頻率將會接近0.6.（2） 摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是1-0.6=0.4.（3） 20×0.6=12，20×0.4=8，故黑球8個，白球12個.（4） ①添加：向口袋中添加一定數目的黑球，并充分攪勻；②實驗：進行大數次的摸球實驗（有放回），記錄摸到黑球和白球的次數，分別計算頻率，由頻率估計概率；③估算： =球的總個數，球的總個數×摸到白球的概率=白球的個數.

【點評】本題取材于摸球實驗，蘊涵著研究性學習的思想方法.研究性學習是一種嶄新的學習方式，在解題中需要關注遇到的相關信息，并做研究，是知識考查新趨勢.

拓展五：交匯知識

在四個完全相同的小球上分別寫上1，2，3，4四個數字，然后裝入一個不透明的口袋內攪勻，從口袋內取出一個球記下數字后作為點P的橫坐標x，放回袋中攪勻，然后再從袋中取出一個球記下數字后作為點P的縱坐標y，則點P（x，y）落在直線y=-x+5上的概率是________.

【分析】考查列表法與樹狀圖法.首先根據題意畫出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與數字x、y滿足y=-x+5的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：列表得：

∵共有16種等可能結果，數字x、y滿足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），

∴數字x、y滿足y=-x+5的概率為： .

故答案為： .

【點評】試題形式新穎，富有個性，集點的坐標、一次函數與概率知識于一體，多方位、多角度地考查知識的掌握與理解，體現了數學知識點之間的緊密聯系，有利于數學思維能力的培養.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）