相似圖形中的數學思維方式

馬國建

不少同學升入初中后不適應初中的數學學習，普遍感到上課老師講的知識能聽懂、能學會，就是課后不會做題、找不到解題方法.

這就需要我們必須重視數學思維方法的學習，諸如分類討論、方程思想、數形結合、歸納猜想、反證法等，通過數學方法的學習使數學和生活中的一些問題可以類比成為“可以理解的”“可以學到手的”一些題型，從而建立有效的數學模型，以思想方法的分析帶動具體知識的學習.

一、 對應點對應邊的思維方式

例1 如圖1，點D是△ABC的邊AC上的一點，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長.

【解析】在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A.

∴△ABD∽△ACB，∴ = ，

∵AB=6，AD=4，

∴AC=9，則CD=AC-AD=9-4=5.

【點評】數學是一門具有較強的系統性和邏輯性的學科.數學本身的知識間的內在聯系是很緊密的，各部分知識都不是孤立的，而是一個結構嚴密的整體.由于全等圖形是特殊的相似圖形，只是在形狀相同的基礎上規定了大小也相等，所以形狀相同就有對應邊之比相等，那么我們可以類比到相似圖形應該具備這個特征，從而實現用相似三角形對應邊之比相等的思維方式解題.

二、 分類的思維方式

例2 如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數是（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【解析】∵AB⊥BC，∴∠B=90°.

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=90°，

∴∠PAD=∠PBC=90°.

AB=8，AD=3，BC=4，

設AP的長為x，則BP長為8-x.

若AB邊上存在P點，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：

①若△APD∽△BPC，則 = ，即 = ，解得x= ；

②若△APD∽△BCP，則 = ，即 = ，解得x=2或x=6.

∴滿足條件的點P的個數是3個，故選C.

【點評】兩個三角形相似，但是不知道是哪些對應邊之比相等，這個時候就應該用分類的思想方法進行分類討論，但要做到利用科學的分類標準，從而達到不重復不遺漏的目的.

三、 方程的思維方式

例3 如圖3，若 = = .（1） △ABC與△ADE的周長和為40 cm，求△ABC的周長；（2） 四邊形BDEC的面積為80 cm2，求△ADE的面積.

【解析】設△ABC的周長為x cm，△ADE的周長為y cm.

因為 = = ，∠A=∠A，

所以△ABC∽△ADE，相似比k= ，

根據題意，得 = ，x+y=40，

解這個方程組，得x=15，y=25.

（2） 設△ABC的面積為S1平方厘米，△ADE的面積為S2平方厘米.

根據相似三角形性質，有 = ，S2-S1=80，

解這個方程組，得S1=45，S2=125.

【點評】該題利用相似三角形的知識，不失時機地構造方程模型，再用方程或方程組的有關原理解決問題.方程的思維方式是將圖形中的數量關系轉換為方程加以解決.方程思維方式在數學中占有非常重要的地位，在數學解題中所占的比例較大，綜合性廣，題型多，應用靈活，特別是在利用三角形的相似進行有關的計算時，我們通常構造方程模型來求解.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區第五中學）