相似

高萍

經過七八年級的學習，我們會發現，方程思想實在是中學數學的解題利器，尤其是在有計算需要的時候，如解決實際問題，在圖形中求線段長度、求角度等.解決實際問題時，我們借助線段圖、關系句等方式尋找等量關系來列方程，在圖形中求角度時我們根據多邊形內角和及角的和差積商關系來列方程，求長度時用得較多的則是根據勾股定理來列方程.現在我們學了相似，又有了一個新的列方程的好幫手了.

一、 利器初體驗

例1 如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8.將△ABC沿DE折疊，使點C落在AB邊上的C′處，并且C′D∥AC，則CD的長是多少？

【分析】由C′D∥AC可知△BC′D∽△BAC，則有 = ，設CD=x，可依據此比例式列方程.

解：由勾股定理易得BC=10，設CD=x，則BD=10-x，由題意可知C′D=CD=x，

∵C′D∥AC，∴△BC′D∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，即CD= .

二、 利器顯神威

1. 利用兩個三角形相似得到的比例式來表示相關的量，借助其他等量關系列方程.

例2 如圖2，已知在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上.當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長.

【分析】可利用“△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等”來列方程，關鍵是表示出△PQC與四邊形PABQ的周長，相似三角形可以來幫忙.

解：∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，

∴ = = ，

設CP=x，則 = = ，

則CQ= ，PQ= ，AP=4-x，QB=3- ，

由△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等可得：

x+ =（4-x）+3- +5，

解之得x= ，∴CP= .

【小貼士】也可設 = = =k，即 = = =k，則CP=4k，CQ=3k，PQ=5k，AP=4-4k，BQ=3-3k.你能列出方程并求出CP嗎？是不是比上面的設法更易計算？在比例式中我們常用這種設法哦！

【考考你】如果沒有“△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等”這一條件，只用相似能求出CP嗎？滿足怎樣的條件才能僅利用相似求出CP的長？

【悄悄告訴你】相似的兩個三角形至少各知道一條邊，才可能僅利用它們的相似求出三角形各邊.否則，就需要有其他相關的等量關系來幫忙.

2. 一組相似不夠用，連環相似來幫忙.

例3 如圖3，在平面直角坐標系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△PBC∽△COA，求P點的坐標.

【分析】要求P點的坐標，可作PD⊥x軸，求出PD、BD即可知P點坐標.由題意易得△PBD∽△CAO，但△PBD一條邊都不知道，無法僅利用這一組相似求出PD、BD.觀察發現邊PB同時也在另一組相似三角形中，可利用△PBC∽△COA先求出PB，問題即迎刃而解.

你能試一試嗎？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，②依據△PBC∽△COA求出BP=4 ，③依據△PBD∽△CAO求出BD=4，PD=8，P（8，8）.

3. 一組相似不夠用，構造相似來幫忙.

例4 如圖4，在平面直角坐標系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△BPC∽△COA，求P點的坐標.

【分析】依據條件中的相似可以求出PC、PB的長，也易得∠CPB是直角，但看不出P點的坐標.要求P點坐標，通常需向坐標軸作垂線.這里顯然向y軸作垂線更合適（想一想，為什么？）.但△PMC不能證明與圖中的某個三角形相似，這時可以利用“一線三等角”模型，構造出相似三角形——過點B作x軸的垂線，與MP的延長線交于點N.此時△PMC∽△BNP，設MP=x，可表示出NP和MC，在Rt△PMC中，利用勾股定理列方程求出x，則問題得解.

比上一題復雜哦，你還敢試試嗎？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，

②依據△BPC∽△COA，可求出PC=2，PB=4，∠CPB=∠AOC=90°，

③證明△PMC∽△BNP，

④設MP=x，則NP=4-x，依據△PMC∽△BNP，可得 = ，即 = ，可表示出MC= ，

⑤在Rt△PMC中，根據勾股定理可得 2+x2=22，解得x= ，可求出MC= ，MO= ，P ， .

怎么樣，你做對了嗎？看起來，有了相似這片“綠葉”，方程思想方法顯示出更大的威力了呢！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區第三中學）