相似三角形的基本模型

葛浩亮

一、 剖析中考題

（2015·江蘇常州）如圖1是根據某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發沿射線OA方向前行300 m是盆景園B，從盆景園B向左轉90°后直行400 m到達梅花閣C，則點C的坐標是________.

【思路分析】“盆景園B向左轉90°后直行400 m到達梅花閣C”，由這個條件可得：∠CBO=90°，于是，我們應該要想到構造“K”字型相似.過點B作BE⊥x軸，交x軸于E，過點C作CF∥x軸，交EB于點F，把“K”字型構造出來，可得出△CFB∽△BEO，利用相似的比例式可得答案.

解：過點B作BE⊥x軸，交x軸于E，過點C作CF∥x軸，交EB延長線于點F.

∵A（400，300），

∴OA=500（m），∴OB=800（m）.

∵BE⊥x軸，∴∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠ADO，

∵∠BOE=∠AOD，∴△BOE∽△AOD，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴BE=480（m），OE=640（m）.

∵∠BEO=90°，∴∠BOE+∠OBE=90°.

∵∠CBO=90°，∴∠OBE+∠CBF=90°，

∴∠BOE=∠CBF.

∵CF∥x軸，∴∠BEO+∠CFB=180°，

∴∠CFB=90°，∴∠CFB=∠BEO，

∴△CFB∽△BEO，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴CF=240（m），BF=320（m），

∴C（400，800）.

二、 模型再現

“K”字型相似基本圖形1

已知：B，C，E三點共線，∠B=∠ACD=∠E=90°.試說明：△ABC∽△CED.

【思路分析】核心條件1：B，C，E三點共線；

核心條件2：∠B=∠ACD=∠E=90°.

基本圖形1是“K”字型相似問題中的一種特殊模型，解決此類問題的關鍵是發現“三點一線”（B，C，D三點共線），“三角相等”（∠B=∠ACD=∠E=90°）.

“K”字型相似基本圖形2

已知：B，D，C三點共線，∠B=∠EDF=∠C=α.試說明：△BDE∽△CFD.

【思路分析】核心條件1：B，D，C 三點共線；

核心條件2：∠B=∠EDF=∠C=α.

基本圖形2是“K”字型相似問題的一般模型，同樣是要發現“三點一線”（B，C，D三點共線），“三角相等”（∠B=∠EDF=∠C=α）.

我們通常也將“K”字型稱為一線三等角型或三角一線型.

三、 以三角形為載體

（2008·福建福州）如圖4，△ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，點P運動的速度是1 cm/s，點Q運動的速度是2 cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s）.作QR∥BA交AC于點R，連接PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？

【思路分析】核心條件1：動點P沿AB勻速運動；

核心條件2：∠A=∠B=∠RPQ=60°.

由△APR∽△PRQ可得∠RPQ=∠A=60°，由QR∥BA可得△CRQ是等邊三角形及其各線段的長度為（6-2t） cm，由∠A=∠B=∠RPQ=60°可得△APR∽△BQP，利用相似的比例式可解得t=1.2.

四、 以平行線為載體

已知：直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點分別在直線l1、l3上并與l2相交于點E，若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點恰好分別在直線l4、l2上，則sinα=________.

【思路分析】核心條件：由∠ADC=90°構造“K”字型.

過點D作DF⊥l1交于點F，延長FD交l4于點G，可證得△ADF≌△DGC，可得AF=DG=4，于是AD=2 ，所以sinα= .

五、 以矩形為載體

（2012·天津節選）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP.設BP=t.

（Ⅱ） 如圖7，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）.

【思路分析】（Ⅱ） 核心條件1：

P為BC邊上的動點，B′落在直線PC′上；

核心條件2：

∠OBP=∠OPQ=∠PCQ=90°.

可得△OBP∽△PCQ，利用相似的比例式可得：m= t2- t+6（0

（Ⅲ） 先得結論：PC′=PC=OC′=11-t，

核心條件1：B′落在直線PC′上，C′落在直線OA上；

核心條件2：∠PC′Q=∠C′AQ=90°.

作PE⊥x軸交x軸與點E，可得△PEC′∽△C′AQ，利用相似的比例式可得m=- t2+ t，由（Ⅱ）可得方程：- t2+ t= t2- t+6，解之得：x= ，

所以點P ，6.

通過以上的探索發現，“K”字型的相似在其基本模型中，可以加入不同的載體，比如三角形、平行線、矩形和動態幾何等，可無論如何變化，其本質都離不開“三點一線，三角相等”.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區薛埠中學）