掌握好有理數的相關概念是學好初中數學的基石

張強勝

概念一：正數和負數的概念

（1） 像3、1.5、584等大于0的數，叫作正數，在小學學過的數，除0以外都是正數，正數比0大.

（2） 像-3、-1.5、-584等在正數前面加“-”（讀作負）號的數，叫作負數. 負數比0小.

（3） 0既不是正數也不是負數，0是正數和負數的分界.

【注意】①正數和負數是根據實際需要而產生的，隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入100元和支出100元、零上6 ℃和零下6 ℃等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的量規定為負的，這樣就產生了正數和負數.

用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣地把“前進、上升、收入、零上溫度”等規定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規定為負.

②為了強調，正數前面有時也可以加上“+”（讀作正）號.

例如：3、1.5也可以寫作+3、+1.5.

③對于正數和負數的概念，不能簡單理解為：帶“+”號的數是正數，帶“-”號的數是負數.

例如：-a一定是負數嗎？答案是不一定，因為字母a可以表示任意的數.若a表示的是正數3，則-a是負數-3；若a表示的是0，則-a仍是0；當a表示負數-2時，-a就不是負數了（此時-a是正數2）.

【應用】若把向北走7 km記為-7 km，則+10 km表示的含義是（ ）.

A. 向北走10 km B. 向西走10 km

C. 向東走10 km D. 向南走10 km

【思路點撥】“正”和“負”相對，-7 km表示向北走7 km，則+10 km表示向南走10 km.

【答案】D.

【總結】在一對具有相反意義的量中，若先規定一個為正，則另一個就用負表示；若先規定一個為負，則另一個就用正表示.

概念二：有理數和無理數的有關概念

（1） 有理數：我們把能夠寫成分數形式（m、n是整數，n≠0）的數叫作有理數.

【注意】①“分數形式”，整數也可以看作是分母為1的分數形式，這時的分數形式包括整數.

但是本節中的分數不包括分母是1的分數.

②因為分數與有限小數和無限循環小數可以互化，上述小數都可以用分數來表示，所以我們把有限小數和無限循環小數都看作分數.

③“0”既不是正數，也不是負數，但“0”是整數.

④整數包括正整數、零、負整數. 例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等.

⑤分數包括正分數和負分數，例如： 0.6、-0.6等.

（2） 無理數：無限不循環小數叫作無理數.

【注意】①無理數應該滿足的條件：是小數、是不循環的、是無限的.

②小數的范圍大，小數中既有有理數也有無理數，其中有限小數都是有理數，而無限小數又分為兩類：其中循環的還是有理數，不循環的才是無理數.

③無理數常見形式：（1） 含有π，也就是3.141 592 6……這類的，只要和π有關系的基本上都是無理數（計算結果π不能消失）. （2） 描述型的，如“面積是2的正方形的邊長”.（3） 構造的無限不循環小數：如0.101 001 000 100 001……，它有規律，但是這個規律是不循環的，每次都多一個0，它是無限不循環小數，當然是無理數. 但是無限循環小數不是無理數.

（3） 有理數和無理數的區別：①把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成整數、有限小數或無限循環小數，比如4=4.0，=0.8，=0.333 33……. 而無理數只能寫成無限不循環小數，比如1.414 213 562……. 根據這一點，人們把無理數定義為無限不循環小數.

②無理數不能寫成分數形式.

【注意】有理數≠無理數.

【應用】請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里. 1， 0.070 8， -700， -3.88， 0， 3.141 592 65.

正整數集合：{ …}

負整數集合：{ …}

整數集合：{ …}

正分數集合：{ …}

負分數集合：{ …}

分數集合：{ …}

【思路點撥】這種關于有理數的分類問題，關鍵是要掌握各種數的概念. 小學時所學的自然數就是正整數和零，進入中學，出現了負整數，而整數的范圍就擴大到了正整數、零和負整數. 有限小數和無限循環小數都可以寫成分數的形式，因此，它們都是分數.

【解析】正整數：1；

負整數：-700；

整數：1，0，-700；

正分數：0.070 8，3.141 592 65；

負分數：-3.88；

分數：0.070 8，3.141 592 65，-3.88.

【總結升華】有理數包括整數和分數，分數包含有限小數和無限循環小數，但須注意的是，不是所有的小數都是分數，比如π等無限不循環小數都是無理數. 所以，我們也不能說小學學過的所有數都是有理數，還有一部分數是無理數.

概念三：數軸的概念

（1） 規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸

【注意】①數軸的定義包含三層含義：數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數軸有三要素——原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據實際需要“規定”的（通常取向右為正方向）.

②在確定單位長度時，根據實際情況，有時也可以每隔兩個（或更多的）單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，

6，……；從原點向左，依次表示為-2，-4，-6，…….

（2） 數軸上的點與有理數、無理數的關系

所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，反過來，不能說數軸上所有的點都表示有理數.

【要點詮釋】正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示.

（3） 利用數軸比較有理數的大小

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大. 正數都大于0；負數都小于0；正數大于一切負數.

【應用】數軸上有一點到原點的距離是5.5，那么這個點表示的數是_________.

【思路點撥】到原點的距離等于5.5 的點既可以在原點左邊，也可以在原點右邊，因此這樣的點有兩個.

【解析】5.5或-5.5.

【總結】與數軸相關的問題還有數軸的畫法以及借助數軸來比較有理數的大小.

概念四：絕對值的概念

（1） 絕對值的幾何定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離，數a的絕對值記作a.

（2） 絕對值的代數定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.

概念五：相反數的概念

（1） 相反數的幾何定義：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫作互為相反數.

（2） 相反數的代數定義：只有符號不同的兩個數（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數，0的相反數是0.

【注意】①“只”字是說僅僅是符號不同，其他部分完全相同；②相反數是數，不是量；③相反數是成對出現的.

（3） 相反數的表示方法

一般地，數a的相反數是-a. 這里a表示任意的一個數，可以是正數、負數或者0.

（4） 多重符號的化簡

把多重符號化成單一符號，如果是正號，則可以省略不寫，實際上多重符號的化簡是由“-”的個數來定，若“-”的個數為偶數個時，化簡結果為正，如-{-[-（-4）]}=4；若“-”的個數為奇數個時，化簡結果為負，如-{+[-（-4）]}=-4 .

①在一個數的前面添上一個“+”號，仍然與原數相同，如+5=5，+（-5）=-5.

②在一個數的前面添上一個“-”號，就成為原數的相反數. 如-（-3）就是-3的相反數，因此，-（-3）=3.

（5） 兩個負數大小的比較

因為兩個負數在數軸上的位置關系是：絕對值較大的負數一定在絕對值較小的負數的左邊，所以，兩個負數，絕對值大的反而小. 比較兩個負數大小的方法是：①先分別求出這兩個負數的絕對值；②比較這兩個絕對值的大小；③根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷.

（6） 有理數大小的比較法則

正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小.

【應用】（1） 數軸上點A對應的數為-3，那么與A相距1個單位長度的點B所對應的數是_________.

（2） 3的相反數是_________，-3與_________互為相反數.

（3） -m的相反數是______，-m+1的相反數是______，m+1的相反數是________.

（4） 0的相反數是_________.

（5） 已知a=9，那么a的相反數是_______.已知a=-9，則a的相反數是_______.

【思路點撥】（1） 代數意義：只有符號不同的兩個數互為相反數，特別地，0的相反數是0. 相反數必須成對出現，不能單獨存在. 例如+5和-5互為相反數，或者說+5是-5的相反數，-5是+5的相反數，而單獨的一個數不能說是相反數. 另外，定義中的“只有”指除符號以外，兩個數完全相同，注意應與“只要符號不同”區分開. 例如，+3與-3互為相反數，而+3與-2雖然符號不同，但它們不是相反數.

（2） 幾何意義：一對相反數在數軸上應分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等. 這兩點是關于原點對稱的.

（3） 求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“-”號即可. 一般地，數a的相反數是-a；這里以a表示任意一個數，可以為正數、0、負數，也可以是任意一個代數式. 注意-a不一定是負數.

【解析】（1） -4或-2；（2） -3，3；（3） m，-（-m+1），-（m+1）；（4） 0；（5） -9， 9.

【總結升華】求相反數時，要緊緊抓住“只有符號不同”這一條件，即“符號不同而數字相同”的兩個數.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）