用數學思想解決“翻轉茶杯”問題

徐怡

《蘇科版數學七年級下冊》有這樣一道題：桌上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉2只，能否經過若干次翻轉使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯每次翻轉3只呢？如果用“+1”或“-1”分別表示杯口“朝上”或“朝下”，你能用有理數的運算說明其中的道理嗎？

下面我們通過操作探究來解決這一問題.

一、 動手操作 獲得結論

探究一：取3只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉其中1只，經過若干次翻轉，能否使杯口全部朝下？

過程：

①將3只茶杯依次編號1、2、3

②第1次：翻轉1號杯

③第2次：翻轉2號杯

④第3次：翻轉3號杯

此時，杯口全部朝下.

結論：能.

探究二：取3只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉其中2只，經過若干次翻轉，能否使杯口全部朝下？

過程：

①第1次：翻轉1、2號杯

②第2次：翻轉1、3號杯

③……（任意翻轉其中的2只茶杯）

想一想：

1. 第1次翻轉后已有2只茶杯的杯口朝下，后面的每次操作總會出現幾只杯口朝上？（1只或3只）

2. 把“每次翻轉2只茶杯”看作“將1只茶杯連續翻轉2次”，結果怎樣？（杯口始終朝上）

結論：3只杯口全部朝上的茶杯，每次翻轉其中2只不能使杯口全部朝下.

探究三：取4只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉其中2只，經過若干次翻轉，能否使杯口全部朝下？（先想一想，再試一試.）

過程：

①將4只茶杯依次編號1、2、3、4

②第1次：翻轉1、2號杯

③第2次：翻轉3、4號杯

此時，杯口全部朝下.

結論：能.

探究四：取4只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉其中3只，經過若干次翻轉，能否使杯口全部朝下？（先想一想，再試一試.）

過程：

①第1次：翻轉1、2、3號杯

②第2次：翻轉1、2、4號杯

③第3次：翻轉2、3、4號杯

④第4次：翻轉1、3、4號杯

此時，杯口全部朝下.

結論：4只杯口全部朝上的茶杯，每次翻轉其中3只，能使杯口全部朝下.

二、 思考延伸 解釋結論

事實上，如果把杯口朝上記作“+1”，杯口朝下記作“-1”，那么3只杯口都朝上的茶杯記為“+1”“+1”“+1”，這3個數的乘積為“+1”，3只杯口都朝下的茶杯記為“-1”“-1”“-1”，這3個數的乘積為“-1”，每次翻轉2只，即改變其中兩個數的符號，這3個數的積仍為“+1”，所以每次翻轉2只，不能使杯口全部朝下.4只杯口都朝上的茶杯記為“+1”“+1”“+1”“+1”，這4個數的乘積為“+1”，4只杯口都朝下的茶杯記為“-1”“-1”“-1”“-1”，這4個數的乘積為“+1”，每次翻轉2只，4個數的乘積為“+1”，杯口可全部朝下；每次翻轉3只，即改變其中3個數的符號，這4個數的積為“-1”，再進行一次翻轉這4個數的乘積為“+1”，所以每次翻轉3只，經過若干次翻轉，杯口全部朝下.這樣，利用有理數運算的符號法則就可以解決翻轉茶杯的問題了.

三、 思維拓展 應用結論

聰明的同學，你來試一試：

利用有理數運算的符號法則解釋：7只杯口都朝上的茶杯，①每次翻轉3只，能否經過若干次翻轉使這7只杯子的杯口全部朝下？②每次翻轉4只，能否經過若干次翻轉使這7只杯子的杯口全部朝下？（答案：①能.②不能）

有興趣的同學還可以進一步探究發現：

“翻轉茶杯”問題與茶杯總數和每次翻轉的個數有關：如果茶杯的總數是偶數，不論每次翻轉的個數是奇數還是偶數，經過若干次操作，都能使杯口全部朝下；如果茶杯的總數是奇數，翻轉的個數是奇數，經過若干次操作，都能使杯口全部朝下，但翻轉的個數是偶數時，無論經過多少次操作，都不能使杯口全部朝下.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）