漫談絕對值

吳龍杰

絕對值，是蘇科版七年級上冊“有理數”這一章的一個重點. 課本中給絕對值下的定義為：數軸上表示一個數的點與原點的距離叫作這個數的絕對值. 如果同學們覺得文字性的表述有些抽象，那么我們不妨使這句話具體一些.

如圖1，點A，B，C，D，E分別表示數軸上的有理數-5，-3.5，0，2.5，5. 通過圖可以得到，點A到原點（0）的距離為5，即-5的絕對值為5，用符號語言表示為-5=5，以此類推，-3.5=3.5，0=0，2.5=2.5，5=5. 特別地，點C表示的數0到原點的距離為0，即0=0.

通過上述推論我們得到：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.

那么，有沒有這樣一個數，它的絕對值是負數呢？

因為距離不可能是負數，所以a≥0（a為一切實數），即絕對值具有非負性，那么請看下題：

例1 若x-1與y+2互為相反數，試求（x+y）2002的值.

【分析】因為x-1與y+2互為相反數，即x-1+y+2=0.

又因為x-1≥0，y+2≥0，所以必有

x-1=0，y+2=0，

即x=1，y=-2.

于是得到：（x+y）2002=（1-2）2002=（-1）2002=1.

通過上題的分析，我們得到若兩個或兩個以上的非負數的和為0，則每一個非負數都為0.目前我們學過的非負數，主要是絕對值和偶次冪（主要是平方）兩種. 所以，如果今后遇到含絕對值或偶次冪的代數式，我們要盡量考慮整體代入.

例2 若a=b，則a=b（a，b為一切實數），這句話是否正確？

【分析】如果a，b同號，即a≥0，b≥0，或a≤0，b≤0，上述判斷正確，但如果a，b異號，則可能出現以下情況：

若a=2，b=-2，由絕對值定義，得a=b=2，但是a≠b，即上述判斷不成立.

由上題可知，互為相反數的兩個數絕對值相等. 因此在一些帶有絕對值符號的題目中，往往要通過兩數的符號（同號或異號）進行分類討論.

例3 數軸上有兩個點. 已知它們到原點的距離分別是2，3，那么這兩個點之間的距離是多少？

【分析】這道題并不難. 但是許多人在解答這道題目的時候，容易直接想到“3-2=1”，從而得到答案1.但實際上這只是其中的一種答案.

我們可以設這兩個點表示的數分別為a，b，則有以下情況：

a>0，b>0 1

a<0，b<0 2

a>0，b<0 3

a<0，b>0 4

當情況為1，2（即a，b同號）時，可得到a-b=1；

但是如果情況為3，4（即a，b異號）時，那么兩點之間的距離就是

3-（-2）=2-（-3）=5.

所以，在今后做題時，如果遇到牽涉絕對值的題目，我們最好多留意一下：這道題目是否需要分類討論.

同學們，絕對值是有理數中最基本的一個知識點. 我們在今后的學習中會發現，很多地方都會運用到絕對值. 所以，將絕對值這一小節吃透就顯得尤為重要. 希望這篇文章能夠給大家帶來一些幫助.

教師點評：絕對值是學生進入初中面對數學的第一個攔路虎，特別是含字母的代數式的絕對值，初學者對這個問題很頭疼. 這個知識點掌握得好與壞，不僅對后面有理數的加減法定義的理解有幫助，對以后二次根式的一些應用都非常重要，是增強學習數學興趣的一個重要的突破口.

（指導老師：孫中興）